第三讲 计数原理与二项式定理 学案

第三讲　计数原理与二项式定理

高考考点
考点解读
两个计数原理
1.与涂色问题、几何问题、集合问题等相结合考查
2．与概率问题相结合考查
排列、组合的应用
1.以实际生活为背景考查排列、组合问题
2．与概率问题相结合考查
二项式定理的应用
1.考查二项展开式的指定项或指定项的系数
2．求二项式系数和二项展开式的各项系数和
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件．
(2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法．
(3)牢记排列数公式和组合数公式．
(4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项、指定项系数的方法；会根据赋值法求二项式特定系数和．
预测2020年命题热点为：
(1)以实际生活为背景的排列、组合问题．
(2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题．

Z
1．必记公式
(1)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝(这里，m，n∈N*，且m≤n)．
(2)组合数公式：
①C＝
＝(这里，m，n∈N*，且m≤n)；
②C＝1.
(3)二项式定理：
①定理内容：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
②通项公式：Tk＋1＝Can－kbk.
2．重要性质及结论
(1)组合数的性质：
①C＝C；
②C＝C＋C；
③C＋C＋…＋C＝2n；
④C＋C＋…＋C＝C.
(2)二项式系数的有关性质：
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1；
②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，
奇数项系数和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
Y
1．分类标准不明确，有重复或遗漏，平均分组与平均分配问题．
2．混淆排列问题与组合问题的差异．
3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数．
4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用．

1．(2018·全国卷Ⅲ，5)5的展开式中x4的系数为( C )
A．10　　　 B．20　　　　
C．40　　　 D．80
[解析]　展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)5－rr＝2rCr5x10－3r，令10－3r＝4可得r＝2，则x4的系数为22C＝40.
2．(2017·全国卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( D )
A．12种　　　 B．18种　　　
C．24种　　　 D．36种
[解析]　由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．
故选D．
3．(2016·全国卷Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( B )

A．24 B．18
C．12 D．9
[解析]　E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．
4．(2018·天津卷，10)在5的展开式中，x2的系数为.
[解析]　因为5的第r＋1项Tr＋1＝Cr5x5－rr＝(－1)r2－rCr5x，令＝2，
解得r＝2，即T3＝T2＋1＝(－1)22－2C25x2＝x2.
所以在5的展开式中，x2的系数为.
5．(2018·浙江卷，14)二项式8的展开式的常数项是7.
[解析]　通项公式为Tr＋1＝C()8－rr＝C2－rx，由8－4r＝0得r＝2，所以常数项为C2－2＝7.
6．(2018·全国卷Ⅰ，15)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．(用数字填写答案)
[解析]　方法一：根据题意，没有女生入选有C34＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C36＝20种选法，故至少有1位女生入选的选法共有20－4＝16种．
方法二：恰有1位女生，有C12C24＝12种，
恰有2位女生，有C22C14＝4种，
所以不同的选法共有12＋4＝16种．


例1 　(1)将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有( A )
A．6种　　　　　 B．12种
C．18种 D．24种
[解析]　分三个步骤：
第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．
第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．
第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8只有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，
故数字6,7,8共有3种方法．
根据分步乘法计数原，有1×2×3＝6种填写空格的方法．
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1