第二讲 概率及其应用 学案

第二讲　概率及其应用

高考考点
考点解读
利用古典概型求事件的概率
1.单纯考查古典概型概率公式的应用
2．与互斥、对立事件相结合考查
3．与统计问题相结合命题
利用几何概型求事件的概率
1.与长度有关的几何概型
2．与面积有关的几何概型
概率与统计的综合问题
1.与频率分布相结合命题
2．与数字特征相结合命题
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握古典概型、几何概型的概率公式及其应用．
(2)注意古典概型与统计的结合题．
(3)注意几何概型与线性规划、平面几何相结合的问题．
预测2020年命题热点为：
(1)古典概型与互斥事件、对立事件相结合问题．
(2)古典概型与统计相结合问题．

Z
1．古典概型的概率
特点：有限性，等可能性．
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率
特点：无限性，等可能性．
P(A)＝.
3．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1.
必然事件的概率为1；
不可能事件的概率为0.
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B).
4．互斥事件概率公式的推广
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．,Y
1．混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件．
2．不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义．
3．几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果．
4．在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型.

1．(2018·全国卷Ⅱ，5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( D )
A．0.6　　 B．0.5　　　
C．0.4　　 D．0.3
[解析]　用1,2代表两名男同学，A，B，C代表三名女同学，则选中的两人可以为12,1A,1B,1C,2A,2B,2C，AB，AC，BC共10种，全是女同学有AB，AC，BC共3种，
所以概率P＝＝0.3.故选D．
2．(2018·全国卷Ⅲ，5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析]　方法一：画Venn图，如图

设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x，则0.45＋0.15＋x＝1，解得x＝0.4，
所以不用现金支付的概率为0.4.
方法二：记“用现金支付”为事件A，“用非现金支付”为事件B，则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B－(A∩B)，
由已知，P(A)＝0.45＋0.15＝0.6，P(A∩B)＝0.15，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝0.6＋P(B)－0.15＝1，所以P(B)＝0.55，
P(B－(A∩B))＝P(B)－P(A∩B)＝0.55－0.15＝0.4.
3．(2017·全国卷Ⅱ，11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝＝.故选D．
4．(2017·全国卷Ⅰ，2)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )

A． B．
C． D．
[解析]　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.故选B．
5．(2018·北京卷，17)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
[解析]　(1)由表知，电影公司收集的电影部数为140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影部数为200×0.25＝50，
所以所求概率为＝0.025.
(2)方法一：记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A，
由表知，没有获得好评的电影部数为140×(1－0.4)＋50×(1－0.2)＋300×(1－0.15)＋200×(1－0.25)＋800×(1－0.2)＋510×(1－0.1)＝1 628，
所以P(A)＝＝0.814，
即所求概率为0.814.
方法二：记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A，则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件，
由表知，获得好评的电影部数为140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372，
所以P(A)＝＝0.186，
所以P()＝1－P(A)＝0.814，
即所求概率为0.814.
(3)由表及已知，第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，符合要求．


例1 某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率．
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析]　用数对表示儿童参加活动先后记录的数，其活动记录与奖励情况如下：
y
xy
x
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
显然，基本事件总数为16.
(1)xy≤3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝.
(2)xy≥8情况有6种，所以获得水杯的概率＝＝，
所以小亮获得饮料的概率＝1－－＝0}中随机取一个实数m，若|m|5，
∴c＝6,7,8,9，
又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
『规律总结』
求概率与统计综合题的两点注意
(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．
(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．
G
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式．
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值．
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
[解析]　(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝ (x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

A组
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
[解析]　根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是.故选C．
2．在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为＝.
故选D．
3．(2018·江西宜春中学3月模拟)已知在数轴上0和3之间任取一个实数x，则使“log2x80%，
所以从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想．
(3)户人均收入小于3千元的贫困家庭中有(0.02＋0.03)×100＝5(户)，其中人均收入在区间[1,2)上有0.02×100＝2(户)，人均收入在区间[2,3)上有0.03×100＝3(户)，从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，基本事件总数n＝10，至少有1户人均收入在区间[1,2)上的对立事件是两户人均收入都在区间[2,3)上，
所以至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率：P＝1－＝.
B组
1．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　如图所示，取边BC上的中点D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故选C．
2．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝ax3－bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f ′(x)在x＝1处取得最值的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意得f ′(x)＝ax2－bx＋1，因为f ′(x)在x＝1处取得最值，所以＝1，符合的点数(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概率为＝，故选C．
3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( B )
A．p1