专题03 数列（模块测试）（解析版）

                     专题03  数列（模块测试）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】∵a1=12，S5=90，∴5×12+ d=90，解得d=3．故选C．2、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为(　　)A． B．C． D．或【答案】C【解析】根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由已知，得，故选：C.4、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（    ）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8．故选：．5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】，，，，.，.故选：D.6、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知数列中，，()，则等于（    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】∵，()，，
，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列，，，
故选：A.7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列，满足且设是数列的前项和，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，得，， 所以，，，又，所以，解得，故选：C.8、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又在区间上单调递增，，实数的取值范围，故选：． 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】等比数列的公比，和异号， ，故A正确；但不能确定和的大小关系；故B不正确；和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；故选：AD10、（2019春•南关区校级期末）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】．【解析】在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，，解得（舍或，，故正确，，数列是等比数列，故正确；，故正确；，，数列不是公差为2的等差数列，故错误．故选：．11、（2021年江苏栟茶中学学情调研）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是　　A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路【答案】．【解析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前项和公式得，解得，在中，，此人第二天走了九十六里路，故正确；在中，，，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正确；在中，，，故错误；在中，，故正确．故选：．12、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】AB【解析】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选： 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月模拟）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______【答案】【解析】设数列公差为，由已知得，解得．∴．故答案为：．14、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝           ；若＝2，则＝       ．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】4；220【解析】根据①，得②，①﹣②得，故；当＝2，可得该数列满足，且与均为公差为2的等差数列，即可求得＝220．15、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设为数列的前n项和，若（），且，则的值为______.【答案】1240【解析】当时，，，可得，当时，由，得，∴，即，∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴，故答案为：1240.16、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则________.【答案】3【解析】从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，，第行的个数为，从第1行到第行的所有数的个数总和为，，是第行第个数，，整理得.故答案为:3. 四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）（本小题满分12分）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）选①，    因为S1＋S3＝2S2＋2，    所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，    又数列{an}是公比为2的等比数列，    所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，                     因此an＝1×2n－1＝2n－1．     此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，    因此数列{an}满足条件P．     选②，    因为S3＝，即a1＋a2＋a3＝，    又数列{an}是公比为2的等比数列，    所以a1＋2a1＋4a1＝，解得a1＝，          因此an＝×2n－1．    此时a1a2＝＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，    因此数列{an}不满足条件P．     选③，    因为a2a3＝4a4，    又数列{an}是公比为2的等比数列，    所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，      因此an＝4×2n－1＝2n＋1．     此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，    因此数列{an}满足条件P． （2）因为数列{an}是公比为2的等比数列， 所以＝2，因此bn＝n×2n－1． 所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2，则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2＋n×2，两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2－n×2                   ＝－n×2                 ＝(1－n)2－1，      所以Tn＝(n－1)2＋1． 18、（江苏省金陵中学2021届高三上学期期初学情调研）已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【解析】(1)因为Sn2＝an(Sn－)，当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由题意得Sn－1·Sn≠0，所以－＝2，即数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝． …………………………………………7分 (2)易得bn＝＝……………………………8分＝(－)，……………………………10分所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝．                                             …………………………………12分19、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【解析】 (1)设数列的公差为，由题意知:    ①又因为成等比数列，所以，，，又因为，所以.  ②由①②得，所以，， ，， .(2)因为，所以,所以数列的前项和.20、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和.【答案】(I) ，；(II)【解析】 (I) ，故，解得，故，.(II)，故.21、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），， ，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意．22、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：.【解析】（Ⅰ）令，则，则，令，则，得，∵为等差数列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，数列的通项公式为；（Ⅱ）证：由题意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴为递增数列，即，∴成立．