（新高考）2021届高三培优专练2 函数的图像与性质解析版
展开培优2 函数的图像与性质
一、函数的解析式、定义域、值域
例1：已知函数，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴或，
∴，
∵，∴，，故，
∴，∴．
二、函数的奇偶性与单调性
例2：已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以在上是增函数，
又，所以在上是奇函数，
故．
三、函数的对称性
例3：已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，若函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，即，
当与在区间上同时单调递增时，
函数与的图象如图所示，易知，解得；
当在上单调递减时，函数与函数的图象如图所示，
由图象知此时在不可能单调递减，
综上所述，即实数的取值范围是．
四、函数的周期性
例4：已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则 ．
【答案】
【解析】因为是定义在上的函数，且，
所以，，
所以，所以函数的周期，
因为当时，，
所以．
五、函数的图像及应用
例5：函数在上的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可知函数为非奇非偶函数，排除A、C，
当时，，∴，
∴在，递减；，递增，∴故选D．
增分训练
一、选择题
1．（多选题）下列函数中定义域与值域相同的是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】CD
【解析】在A中，定义域为，值域为；
B中，定义域为，值域为；
C中，由，得，所以定义域与值域都是；
D中，由，得，所以定义域为，值域为．
2．已知函数为上的单调函数，且其图象过点，，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知函数是上的单调函数，且其图象过点，，
故可以判断函数在区间上的值域为，
化简，得，所以，故．
3．函数的定义域和值域都是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，则函数在上为减函数，故，
∴当时，，则，∴，
则．
4．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
由，得，，
又在区间上是增函数，则，
即恒成立，也即恒成立，
因为，所以，
故函数在区间上是增函数，实数的取值范围为．
5．函数的图象大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴函数为偶函数，故排除C、D，
当时，，故排除B，只有A符合．
6．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的图象如图，为过原点的一条直线，
当时，与在轴右侧总有交点，不合题意；
当时成立；
当时，找与相切的情况，即，且点为，
此时，即有，
综上，．
7．已知奇函数在上是增函数，，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知在上为偶函数，
∵奇函数在上是增函数，且，∴在上是增函数，
又，且，
∴，则．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，则函数的周期，
当时，，
则，则函数为偶函数，
因此，，，
当时，函数与均为增函数且都不小于，
所以在区间上为增函数，
∴，即．
9．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知关于直线对称，且，在上单调递增，
所以在上单调递减，且，
当时，，即；
当时，，即，
综上，．
10．已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，
则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是最小正周期为的周期函数，
且时，，
∴当时，有两个根，即，，
由周期函数的性质知，当时，有两个根，即，，
当时，有两个根，即，，也是的根，
故函数的图象在区间上与轴交点的个数为．
11．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：
的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的命题：
①函数是周期函数；
②函数在是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】由导函数图象与原函数之间的关系可得，原函数的大致图象如下：
由图得到①为假命题；
②为真命题，因为在区间上导函数为负，故原函数递减；
③为假命题，当时，也满足时，的最大值为2；
④为假命题，当离非常接近时，对于第二个图，有2个零点，也可以是3个零点，
综上所得真命题的只有②，故选D．
二、填空题
12．已知函数，则在时的值域是 ．又若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数的最小值为 ．
【答案】，
【解析】，
因为，所以．
将函数的图象向左平移个单位长度得到
，
当时，取到最值，，则的最小值为．
13．已知是奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则_______．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，
则可得，∴，
又是奇函数，∴．
14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则_______．
【答案】
【解析】因为是定义在上的函数，且，
所以，所以函数是周期为的函数，
又由，
得，
又因为函数是奇函数，所以，
又当时，，所以，
所以．
15．已知函数是以)为中心的中心对称图形，
，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．
【答案】
【解析】由，得，解得，
所以．
又，所以，
因为，，，
由，得，所以．
