（新高考）2021届高三培优专练3 函数零点解析版
展开培优3 函数零点
一、零点存在性定理的应用
例1：函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，显然函数在区间内连续，
因为的一个零点在区间内，所以，
即，解得．
二、函数零点个数的判定
例2：（多选题）已知函数，下列是关于函数的
零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有个零点 B．当时，有个零点
C．当时，有个零点 D．当时，有个零点
【答案】CD
【解析】由题意可知，，
当时：若，则，
①时，有，解得；
②时，有，解得．
若，则，
①时，有，解得；
②时，有，解得．
故当时，有个零点，C正确，
当时：若，则，有，解得，
因为，所以不满足，舍去；
若，则，
①时，有，无解；
②时，有，解得，
故当时，有个零点，D正确．
三、求函数零点
例3：已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据奇函数满足，可知其周期为，
∵函数的一条对称轴为，可由向右平移个单位得到，
在同一坐标系作出与的图象如图：
根据图象可知函数与的图象均关于点对称，
且函数与的图象在区间上有四个交点，
所以函数在区间上所有零点之和为，故选D．
四、复合函数零点的问题
例4：已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，则，，
函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图象，如图所示，
，即，
当时，根据图象知有个解，故有个解，
根据图象知．
增分训练
一、选择题
1．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知函数在其定义域上是增函数，
因为，，
所以函数的零点一定位于区间内，故选B．
2．函数在上的所有零点之和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
分别作出函数与的图象，
由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于对称，
由图可知，函数在上的所有零点之和，
等于，
故选D．
3．已知函数(为自然对数的底数)，若的零点为，极值点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∵当时，，即，解得；
当时，恒成立，
∴的零点为，∴．
又当时，为增函数，故在上无极值点；
当时，，，
当时，；当时，，
∴时，取到极小值，即的极值点为，
∴，∴．
4．已知函数．若函数有个
零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
可得是在上以为周期的周期函数．
画出的图象，如图．
函数有个零点可以转化为函数的图象与的图象有个交点．函数的图象恒过点，
结合函数的对称性，只需的图象与的图象在时有个交点，
结合函数图象可知，解得或，故选D．
5．（多选题）设函数，若函数
有三个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为 B．的值为
C．的值无法确定 D．
【答案】ABC
【解析】作出函数的大致图象如图所示，
由图可得关于的方程的根有两个或三个(时有三个，时有两个)，
所以关于的方程只能有一个根(若有两个根，则关于的方程有四个或五个根)，
由根与系数的关系得，，得，所以A，B正确；
不妨设，令，可得的值分别为，
则，
由，得()，故的值无法确定，所以C正确，D错误．
6．（多选题）定义在上的函数满足下列两个条件：
①对任意的恒有成立；
②当时，．
令函数，若函数与轴恰有两个交点，则实数的取值描述中正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．
【答案】BC
【解析】当时，，所以，
同理可得，，其中，
直线恒过定点，如图所示，
要满足题意，直线与线段相交即可，(可以与点重合但不能与点重合)，
∵，，∴，，
所以函数与轴恰有两个交点时需满足．
二、填空题
7．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数有 个零点．
【答案】
【解析】由题意知，所以．
当时，令，即，
令，，
因为，所以当时，与的图象有个交点，
即时，有个零点，
又函数是定义域为的奇函数，所以函数有个零点．
8．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵在区间上有三个零点，
∴在区间上有三个不同的解，
令，令，，
则当时，，单调递增，单调递减的值域为；
当时，在上是增函数，；
在上是减函数，，
故当时，有三个不同的解．
9．设函数，若函数有三个零点，则________，_______．
【答案】，
【解析】作出函数的大致图象如图所示，
由图可得关于的方程的根有两个或三个(时有三个，时有两个)，
所以关于的方程只能有一个根(若有两个根，则关于的方程有四个或五个根)，
由根与系数的关系得，，所以；
不妨设，令，可得的值分别为，
则．
三、解答题
10．已知函数．
（1）当时，求的最值；
（2）讨论的零点个数．
【答案】（1）最大值为，没有最小值；（2）见解析．
【解析】（1）因为，所以，所以，
令，得；令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故在时，取得最大值，，没有最小值．
（2）令，得．
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
而当时，；当时，．
所以的图象如图所示：
①当时，方程无解，即没有零点；
②当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点；
③当时，方程有两解，即有两个零点；
④当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点．
综上，当时，没有零点；
当或时，有唯一的零点；
当时，有两个零点．
