（新高考）2021届高三培优专练4 抽象函数及应用解析版

培优4  抽象函数及应用

一、抽象函数单调性的应用

例1：（多选题）函数为奇函数且当时，单调递减，若，则下列满足不等式的实数的取值范围有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】依题意，是单调递减函数，，解得．

二、抽象函数奇偶性的应用

例2：已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是定义在上的奇函数，

∴，且的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除B、D；

又，∴，，

∴，，

∴的零点至少为，，，共个．

三、抽象函数周期性的应用

例3：已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

∴函数周期为．

∵，，，，∴，

∴．

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一、选择题

1．命题：若存在且，对任意的，有恒成立；已知命题：单调递减，且恒成立；命题：单调递增，且存在使．则下列说法正确的是（    ）

A．，都是的充分条件 B．，都不是的充分条件

C．只有是的充分条件 D．只有是的充分条件

【答案】A

【解析】若成立，取，则，取，则，

故成立，所以是的充分条件；

若成立，取，使，

由于且单调递增，取，

有，

即，所以是的充分条件．

2．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵为上奇函数，在单调递减，∴，在上单调递减．

∵，∴，

由，得或，解得或，

∴的取值范围是，∴选D．

3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，

又由在上单调递增，则有，故选C．

4．设函数对不为零的一切实数均有，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，把代入得①，

把代入得②，∴．

5．函数为定义在上的奇函数，当时，单调递增．若，

则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数为定义在上的奇函数，由，可知，

当时，函数单调递增，

∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递增，

由，可得，即．

6．设是定义在上的增函数，，那么必为（    ）

A．增函数且是奇函数  B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数  D．减函数且是偶函数

【答案】A

【解析】∵，∴为定义在上的奇函数，

设，则，

∵，∴，

∵为定义在的增函数，∴，，

∴，

∴为定义在上的增函数，

综上所述：必为增函数且为奇函数．

7．（多选题）若，分别为定义在上的奇函数，偶函数，则（    ）

A．为奇函数 B．为奇函数

C．为偶函数  D．为偶函数

【答案】BCD

【解析】对于A选项，，不满足题意；

对于B选项，，满足题意；

对于C选项，，满足题意；

对于D选项，，满足题意．

8．（多选题）函数定义域为，满足：存在，，对任意，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】令，．

若，对任意，，不符合题意，

故，，

令，，

又，∴，，故选B、D．

二、填空题

9．设，若存在定义域为的函数满足：①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】考虑，关于的方程无实数解，则，

故且，注意此为必要条件．

同时构造出是满足条件的函数，故．

10．把函数的图象向右平移_______个单位得到函数的图象．

【答案】

【解析】由于函数，

故把函数的图象向右平移个单位，

可得到函数的图象．

11．已知定义在上的偶函数在上单调递减，．

若，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】因为，，所以．

又偶函数在上单调递减，所以可化为，所以，解得．

12．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则

__________．

【答案】

【解析】由是偶函数得，

又是定义在上的奇函数，所以，

即，所以，

即，所以，，

因此．

13．已知函数是上的奇函数，则函数的图象经过的定点

为__________．

【答案】

【解析】函数是上的奇函数，

根据奇函数性质可知，过，

向右平移个单位，向上平移个单位，可得，

所以过的定点为．

14．已知函数为奇函数，若，则__________，__________．

【答案】2，3

【解析】因为函数为奇函数，且，，

所以，所以．

所以．