（新高考）2021届高三培优专练5 导数的应用解析版

培优5  导数的应用

一、函数的单调性应用

例1：已知定义域为的偶函数的导函数为，当时，．

若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

又当时，，所以，

即函数在区间内单调递减．

因为为上的偶函数，所以为上的奇函数，

所以函数在区间内单调递减，

由，可得，即．

例2：若函数在上单调递减，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】因为在上单调递减，所以当时，恒成立，

即恒成立．

令，则由题意可知，只需，而，

因为，所以，

所以(此时)，所以，

又因为，所以的取值范围是．

二、利用导数研究函数极值问题

例3：设函数．

（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；

（2）若在处取得极小值，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，所以．

由题设知，即，解得，

此时，所以的值为．

（2）由（1）得，

若，则当时，；当时，，

所以在处取得极小值；

若，则当时，，，所以，

所以不是的极小值点，

综上可知，的取值范围是．

三、利用导数解决函数最值问题

例4：已知函数，其中为常数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若在区间上的最大值为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）易知的定义域为，

当时，，，令，得．

当时，；当时，．

∴在上是增函数，在上是减函数，∴．

∴当时，函数在上的最大值为．

（2），，．

①若，则，从而在上是增函数，

∴，不合题意；

②若，令，得，结合，解得；

令，得，结合，解得．

从而在上为增函数，在上为减函数，

∴．

令，得，即．

∵，∴为所求，故实数的值为．

四、判断函数零点个数问题

例5：已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的零点个数．

【答案】（1）；（2）仅有个零点．

【解析】（1）∵是二次函数，且关于的不等式的解集为，

∴设，且，

∴，，

故函数的解析式为．

（2）由（1）知，

∴的定义域为，，

令，得，．

当变化时，，的取值变化情况如下表：

当时，；

当时，．

又因为在上单调递增，因而在上只有个零点，

故仅有个零点．

五、由函数零点个数求解参数取值范围问题

例6：已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若只有一个零点，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

所以，故，

又，所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）由题意得．

①当，即时，则当或时，；

当时，，

所以的极小值为，

因为函数的零点，且，

所以当函数只有一个零点时，需满足，

又，则或；

②当，即时，则有，所以为增函数，

又，所以只有一个零点，且，所以满足题意；

③当，即时，则当或时，；当时，．

所以的极小值为，极大值为，

因为，，所以，

又，所以，

综上可得或，即实数的取值范围为．

增分训练

一、选择题

1．函数的导函数有下列信息：①时，；②时，或；③时，或．则函数的大致图象是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】根据信息知，函数在上是增函数，在，上是减函数．

2．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，所以在上为减函数，

又正数，，满足，所以，即，

因为是定义在上的非负可导函数，所以，

所以，即．

当时，，所以，

综上：．

3．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，

只需方程在有两个不相等实根，即，

令，则．

在递增，在递减．其图象如下：

∴，∴．

4．若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数．已知函数，则为（    ）

A．折函数 B．折函数 C．折函数 D．折函数

【答案】C

【解析】，

令，得或．

易知是的一个极值点，

又，结合函数图象，与有两个交点．

又，∴函数有个极值点，则为折函数．

二、填空题

5．若对任意，满足，都有，则的最大值为________．

【答案】

【解析】∵，，∴，

令，，则函数在上单调递增，

故，解得，

故的最大值是．

6．已知函数(是自然对数的底数)，则的极大值为________．

【答案】

【解析】由题意知，，∴，则，

因此，

令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取极大值．

三、解答题

7．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设的两个不同的零点是，，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵，∴，．

①当时，，在上为减函数；

②当时，令，得．

当时，，为减函数；

时，，为增函数．

综上：当时，函数的减区间为，无增区间．

当时，函数的增区间为，函数的减区间为．

（2）因为有两个不同零点，∴，得，

由题意得，两式相减得，解得，

要证，即证，即证，

不妨设，令，只需证，

设，∴，

令，∴，

∴在上单调递减，∴，

∴，∴在为减函数，

∴，即在恒成立，

∴原不等式成立，即．

8．已知函数(为自然对数的底数)．

（1）求函数的极值；

（2）问：是否存在实数，使得有两个相异零点？若存在，求出的取值范围；

若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）存在，．

【解析】（1）因为，所以．

①当时，，

所以时，，所以函数在上单调递减，

此时，函数无极值；

②当时，令，得，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

此时，函数有极小值为，无极大值．

（2）存在实数，使得有两个相异零点．

由（1）知：①当时，函数在上单调递减，

又，所以此时函数仅有一个零点；

②当时，，

因为，则由（1）知，

令，则，

因为，所以，即在区间上单调递增，

所以，即，

取，

令，易得，

所以在单调递减，所以，

所以．

此时，函数在上也有一个零点，

所以，当时，函数有两个相异零点；

③当时，，，此时函数仅有一个零点；

④当时，，因为，，

令函数，易得，

所以，所以，即．

又，所以函数在上也有一个零点，

所以，当时，函数有两个相异零点．

综上所述，当时，函数有两个相异零点．