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（新高考）2021届高三培优专练18 圆锥曲线综合解析版
展开培优18 圆锥曲线综合
一、圆锥曲线的定点定值问题
例1：椭圆的离心率是，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，定点为．
【解析】（1）∵，，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线斜率存在时，设直线方程，
由，得，，
设，，，
假设存在定点符合题意，
∵，∴，
∴
．
∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴；
当直线斜率不存在时，，两点分别为椭圆的上下顶点，，
显然此时，
综上，存在定点满足题意．
二、圆锥曲线的最值和范围问题
例2：已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点，，求弦长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设圆的半径为，
由题意可知，点满足，，∴．
由椭圆定义知点的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且，，进而，
故轨迹的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，或，，
此时弦长；
当直线斜率存在时，设的方程为，
由，消去，得，
由恒成立，
设，，∴，，
．
令，则，
，．
当时，此时，，
综上，弦长的最大值为．
增分训练
一、选择题
1．（多选题）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的焦距为 B．的离心率为
C．圆在的内部 D．的最小值为
【答案】BC
【解析】∵，∴，，∴，
则的焦距为，，
设，
则，
所以圆在的内部，且的最小值为，
故选BC．
二、填空题
2．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相切且，则直线的方程为 ；为上的动点，则的最小值是 ．
【答案】，
【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为，
由于直线的斜率为，故直线方程为，即，
由，解得，，
设直线的方程为，
由，化简得，
由于直线与抛物线相切，判别式，解得，
故直线的方程为．
设直线上任意一点的坐标，
代入，得，
当时取得最小值为．
三、简答题
3．已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交于，两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）；（2）点到轴距离的最小值为，直线的方程为．
【解析】（1）设，联立方程，得，
由，得，，
∴，解得，
故抛物线的方程为．
（2）由已知可得，直线斜率不为，
故可设直线的方程为，，．
由，得，
，，，
∴，得，
∴
，
当且仅当，即时取等号，点到轴距离的最小值为，
此时，，
∴直线的方程为．
4．在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设，由已知，
∴，
∴，
化简得点的轨迹的方程为．
（2）由（1）知，过点的直线的斜率为时与无交点，不合题意；
故可设直线的方程为，代入的方程得．
设，，则，
，．
∴直线，
令，得
，
直线过轴上的定点．
5．已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点非长轴端点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得，
∵，，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
设，，，，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
，
综上，面积的最大值为．
6．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求的方程；
（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，
因为，不妨设点，代入椭圆方程得，
又因为，所以，，所以，，
所以的方程为．
（2）依题设，得直线的方程为，即，
设，，，
由切线的斜率存在，设其方程为，
联立，得，
由相切得，
化简得，即，
因为方程只有一解，所以，
所以切线的方程为，即，
同理，切线的方程为，
又因为两切线都经过点，所以，
所以直线的方程为，
又，所以直线的方程可化为，
即，
令，得，所以直线恒过定点．
