所属成套资源：2021届高三培优专练（新高考）
（新高考）2021届高三培优专练17 圆锥曲线离心率解析版
展开培优17 圆锥曲线离心率
一、已知圆锥曲线方程直接求离心率
例1：椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在椭圆中，，，，
因此，该椭圆的离心率为，故选A．
二、根据圆锥曲线的几何性质求离心率的值或取值范围
例2：（多选题）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】若双曲线焦点在轴上，
因为渐近线方程为，故，∴；
若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，
∴，
故选AB．
三、根据圆锥曲线的离心率求参数的值或取值范围
例3：已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得，故选B．
四、圆锥曲线的离心率的综合运用
例4：已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设直线与圆相切于点，连接，
则，椭圆的左右焦点分别为，，
∵轴，∴，∴，
∵，∴轴，∴，
∴，即，解得，故选A．
增分训练
一、选择题
1．已知双曲线，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，所以，故选B．
2．椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，又，可得，
整理可得，所以，故选D．
3．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线方程为，，
所以该双曲线的渐近线方程为．
又其中一条渐近线与直线垂直，即与直线垂直，
所以，即，所以双曲线标准方程为，
所以双曲线的离心率为，故选A．
4．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，，
又椭圆离心率，所以，
由，解得，故选D．
5．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，其一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
设双曲线的方程为（，），其一条渐近线方程为，
∴，离心率，
故选A．
6．若双曲线（，）的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知双曲线（，）的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
由题意得：圆心到渐近线的距离，
又因为，代入可得，所以，故选D．
7．在直角坐标系中，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
由，可得，
又，解得，
由于，所以，，
，，，故选D．
8．（多选题）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，
由题意可得，解得，
又，所以，，
所以，该椭圆离心率的取值范围是，故符合条件的选项为BD，故选BD．
9．（多选题）曲线与的离心率分别为，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由曲线，可得，，则，可得离心率；由曲线，可得，，则，可得离心率，
因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，故D错误，
故选BC．
二、填空题
10．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】因为双曲线（，）的离心率为，
所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为，故答案为．
11．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【解析】如图，由于轴，故，，
设点，因为，所以，得，
所以．
12．双曲线的离心率等于 ，其渐近线与圆相切，则 ．
【答案】，
【解析】化双曲线的方程为标准方程，得，
所以，，所以，
渐近线的方程为．
化圆的方程为，则由，解得，
故答案为，．
13．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设椭圆对应的参数为，，，双曲线对应的参数为，，，
由于线段的垂直平分线过，所以有．
根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，
即，
所以，即最小值为．
14．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围 ．
【答案】．
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，
∴，．
∵，，
∴，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴椭圆的离心率．
