（新高考）2021届高三培优专练15 平行垂直关系的证明解析版

培优15  平行垂直关系的证明

一、平行关系的判断与证明

例1：如图，异面直线、，，，为中点，，，，，，，求证：为中点．

【答案】证明见解析．

【解析】连交于，连、，

，

．

二、垂直关系的判断与证明

例2：如图，所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：

①；②；③；④面．

其中正确命题的序号是        ．

【答案】①②③

【解析】，，那么平面，

则，

又，则平面，可得，那么①③正确；同理②也正确，

易知④错误．

三、平行垂直关系的判断与证明

例3：如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：平面平面；

（3）在线段上是否存在一点，使得平面，并说明理由．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，详见解析．

【解析】（1）∵，∴，

作交于点，则，

∵平面平面，∴面，

则．

（2）∵平面平面，，

平面平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又∵为圆的直径，∴，∴平面，

∵面，∴平面平面．

（3）取中点记作，设的中点为，连接，，

则∥，

又∥，则∥，所以为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面．

增分训练

一、选择题

1．如图，在正三棱柱中，若，则与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取的中点，连结、，

知在平面内的射影为，易得，

则，则，那么与所成的角为．

2．已知是两条异面直线，点是直线外的任一点，有下面四个结论：

①过点一定存在一个与直线都平行的平面；

②过点一定存在一条与直线都相交的直线；

③过点一定存在一条与直线都垂直的直线；

④过点一定存在一个与直线都垂直的平面．

则四个结论中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】①错，因为过直线存在一个与直线平行的平面，当点在这个平面内时，

就不满足结论；

②错，因为过直线存在一个与直线平行的平面，当点在这个平面内时，就不满足结论；

③对；

④错，若结论成立，则有．

3．（多选题），表示直线，表示平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】CD

【解析】选项A中，也可能，故不正确；

选项B中，也可能，故不正确；

C正确；

D正确．

4．（多选题）已知平面平面，是、外一点，过点的两条直线、分别交于、，交于、，且，，，则的长为（    ）

A．20 B．16 C．12 D．4

【答案】AD

【解析】可得，分两种情况：

当点在两平行平面之外时，，则；

当点在两平行平面之间时，得，，则．

二、填空题

5．是所在平面外一点，是点在平面上的射影，且在的内部．若到三个顶点的距离相等，则是的       心；若、、两两互相垂直，则是的       心．

【答案】外心、垂心

【解析】由到三个顶点的距离相等，易知到三个顶点的距离相等，

则为的外心；

由、、两两互相垂直，也可证得为的垂心．

6．设有下列四个命题：

两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

过空间中任意三点有且仅有一个平面．

若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

若直线平面，直线平面，则．

则下列命题中所有真命题的序号是        ．

① ② ③ ④

【答案】①③④

【解析】对于可设与相交，所得平面为．

若与相交，则交点必在内，

同理，与交点也在内，故直线在内，即在内，故为真命题；

对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故为假命题；

对于空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故为假命题；

对于若平面，则垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题，

综上可知：为真命题，为假命题，为真命题，为真命题，故正确的有①③④．

三、解答题

7．如图，已知是矩形，⊥平面，是上一点．求证：不可能垂直于平面．

【答案】证明见解析．

【解析】用反证法，假设平面，

∵平面，则．

∵，∴．

又∵，平面，平面，，

∴平面，平面，∴，

这与中为锐角矛盾，

∴不可能垂直于平面．

8．如图，、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）依题意：，

平面，∴，

，∴平面．

（2）中，，，∴．

连结，

在和中，，，

，，

设，则，

在中，，，解得，

∴，∴，∴．

在平面外，∴平面．

（3）由（2）知，，且，

∴到的距离等于到的距离为1，

∴．

平面，∴．

9．在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面．

（1）若是的中点，求证：；

（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于，若，求证：截面侧面；

（3）过侧面的对角线的平面交侧棱于，是截面侧面的充要条件吗？请你叙述判断理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）是，详见解析．

【解析】（1）∵，是的中点，∴，

∵底面侧面，∴侧面，∴．

（2）延长与交于，连结，

∵，∴，

又，∴，∴，

∵底面侧面，∴侧面，

∴截面侧面，∴截面侧面．

（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性．

过作于，

∵截面侧面，∴侧面．

又∵侧面，∴，∴、、、共面，

∵侧面，∴，

∵，∴，

∵是的中点，∴是的中点，

∴，∴．

10．如图，一棱长为2的正四面体的顶点在平面内，底面平行于平面，平面与平面的交线为．

（1）当平面绕顺时针旋转与平面第一次重合时，求平面转过角的正弦值；

（2）在上述旋转过程中，在平面上的投影为等腰，的中点为．当平面时，问在线段上是否存在一点，使？请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，详见解析．

【解析】（1）∵平面平面，平面平面，

平面平面，

∴．

取中点为，连接，，

则，

∴，

又，平面，平面，

∴平面，

又平面，∴，

设平面平面，则，

故为平面与平面所成二面角的平面角，即为所求的转动角．

过作于，则为正四面体的高，故，

又，故，

故所求转过角的正弦值为．

（2）在中，，

故，，．

设在平面上射影为，

若平面，则，

设交于，则，得，

又，故与重合时，．