（新高考）2021届高三培优专练13 数列求和的方法解析版
展开培优13 数列求和的方法
一、错位相减法
例1：已知等比数列是递增数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公比为，，，得，，
∴数列的通项公式为．
（2）由，，得，
∴，①
则，②
②-①，得，
即．
二、裂项想消法
例2：在等差数列中，，公差，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，若，，成等比数列，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴，∴，
∴，∴，
．
（2）若，，成等比数列，则，即，∴，
∵，
∴．
增分训练
一、选择题
1．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，记，
则，
又，
两式相加可得，
则．
2．在数列中，若，且对任意的有，则数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，则．
∴，，
，，
∴，
∴，则．
3．已知数列满足：，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，；
，；
，．
第一个式子和第二个式子相减，得到；
第二个式子和第三个式子左右两边相加得到，
故
．
4．已知数列与前项和分别为，，且，，，，对任意的，恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以当时，，解得，
当时，，
所以，
于是，
由，可得，
所以是首项为，公差为的等差数列，即，
所以，
所以
，
因为对任意的，恒成立，
所以，即的最小值是．
5．（多选题）已知正数数列是公比不等于的等比数列，且，
若，则关于的结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】∵正数数列是公比不等于的等比数列，且，
∴，，
∵函数，∴，
，
令，则，
∴，
∴，
故选ABD．
6．（多选题）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．的前项和
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
又，
所以是以为首项，位公比的等比数列，
，即，为递减数列，
的前项和
，
故选ABC．
二、填空题
7．在数列中，，，，则的值为______，数列
的前项和为______．
【答案】，
【解析】由题意，
∴
，
∴．
，，
∴．
8．已知数列满足，且，则 ，数列满足，则数列的前项和 ．
【答案】，
【解析】由，得，
所以为等差数列，公差首项都为，
由等差数列的通项公式可得，，，
，①
，②
②①，得到，
故答案为，．
三、解答题
9．已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的满足关系式．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得时，，故，
故数列为等比数列，且公比，
又当时，，∴，∴．
（2），
∴
．
10．设为等差数列的前项和，其中，且．
（1）求常数的值，并写出的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．
【答案】（1），；（2）4．
【解析】（1）由及，得，，
∵数列是等差数列，∴，解得，
∴，
∴公差，∴，
（2）由（1）知，∴．
∴，①
∴，②
①②，得，
∴，
由，得，
设，则，
∵，∴，即数列{}单调递减，
又，，，
∴当时，恒有，
故存在时，使得对任意的，都有成立．
