（新高考）2021届高三培优专练20 离散型随机变量的期望解析版

培优20  离散型随机变量的期望

一、根据二项分布求概率

例1：设随机变量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为随机变量，，

所以，则，

因为，即，解得，

随机变量中，，

故选A．

二、由随机变量X的分布列求概率

例2：若随机变量的分布列为，则________．

【答案】

【解析】由题可知，

故答案为．

三、离散型随机变量及其分布列的综合

例3：已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，

则．

（2）的可能取值为，

，，．

故的分布列为

．

增分训练

一、选择题

1．已知件产品中有件次品，从中任取件，取到次品的件数为随机变量，用表示，那么的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，件产品中有件次品，从中任取件，取到次品的件数为随机变量，

可得随机变量，的取值可以是，

故选C．

2．已知下列随机变量：

①件产品中有件次品，从中任选件，取到次品的件数；

②一位射击手对目标进行射击，击中目标得分，未击中目标得分，用表示该射击手在一次射击中的得分；

③刘翔在一次米跨栏比赛中的成绩；

④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数．

其中是离散型随机变量的是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④

【答案】C

【解析】③中的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．

3．已知参加年某省夏季高考的万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（    ）

(附：，则，)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，

，，

，

这些考生成绩落在的人数约为，故选B．

4．若随机变量的分布列如下表：

则当时，实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以实数的取值范围为，

故选C．

5．从标的支竹签中任取支，设所得支竹签上的数字之和为，那么随机变量可能取的值有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【解析】支竹签上的数字是中的两个，若其中一个为，另一个可取，相应可取得，

同理一个为，另一个可取，相应可取得，

以此类推，可看到可取得间的所有整数，共个．

6．从装有除颜色外没有区别的个黄球、个红球、个蓝球的袋中摸个球，设摸出的个球的颜色种数为随机变量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，即摸出的个球有种颜色，其中一种颜色的球有个，另一种颜色的球有个，

故，故选D．

7．有本不同的书，其中语文书本，英语书本，数学书本．现从中随机拿出本，记拿出数学书的本数为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】由题意知：拿出数学书的本数的取值有，

∴，，，

即，故选C．

8．设，则随机变量的分布列为：

设，则当内增大时：（    ）

A．递减，递增 B．递减，递减

C．递增，先递减再递增 D．递减，先递增再递减

【答案】B

【解析】根据题意可得，．

则当内增大时，单调递减；

又，故的分布列如下所示：

故，

令，

故当时，单调递减，即单调递减，故选B．

9．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设没有发芽的种子数为，则，，

所以．

10．已知随机变量，若，则，分别为（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】C

【解析】，，．

，，

由期望和方差的性质可得，，

故选C．

11．（多选题）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）

A．，  B．，

C．  D．

【答案】BC

【解析】依题意，

所以，结合，解得，所以B选项正确；

，所以C选项正确，

故选BC．

12．（多选题）下列说法正确的有（    ）

A．已知随机变量服从正态分布，若，则

B．设随机变量服从正态分布，若，则

C．设随机变量，则等于

D．某人射击一次击中目标的概率为，经过次射击，此人恰有两次击中目标的概率为

【答案】AD

【解析】对于A，因为变量服从正态分布，若，

所以，

因为关于对称，所以，故A正确；

对于B，因为，所以须满足，

等式不恒成立，故无论是任何实数，都不能使，故B错误；

对于C，因为随机变量，则，故C错误；

对于D，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为，

故D正确，

故选AD．

13．（多选题）如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（    ）

A．取每一个可能值的概率是正数

B．取所有可能值的概率和为

C．取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】BC

【解析】对于A选项，取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误；

对于B选项，取所有可能值的概率和为，故B选项正确；

对于C选项，取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确；

对于D选项，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误，

故选BC．

二、填空题

14．已知随机变量的分布列如表，则________．

【答案】

【解析】由，即，解得或，

因为，所以，故答案为．

15．在含有件次品的件产品中，任取件，则取到的次品数恰有件的概率是______．

【答案】

【解析】由题意得：件产品中，有件次品，件正品，

故任取件，恰有件是次品的概率，

故答案为．

16．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．

【答案】

【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，

结合题意有，故答案为1．

17．随机变量分布列如下表，则______；______．

【答案】；1

【解析】，∴，∴，

故答案为；1．

三、解答题

18．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对题才算合格．

（1）设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为、，写出随机变量、的分布列；

（2）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（3）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

【答案】（1）分布列见解析，（2）甲：，乙：；（3）．

【解析】（1）随机变量的所有可能取值为，

，，

，，

所以随机变量的分布列为：

随机变量的所有可能取值为，

， ，

，

所以随机变量的分布列为：

（2）记“甲考试合格”为事件，’乙考试合格”为事件，

由（1）知，，，

所以甲、乙两人考试合格的概率分别为，．

（3）因为事件相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为

，

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

19．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场），有高一、高二、高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜．

（1）若高三获得冠军的概率为，求；

（2）记高三的得分为，求的分布列和期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）高三获得冠军有两种情况：高三胜两场；三个队各胜一场，

高三胜两场的概率为；

三个队各胜一场的概率为，

所以，所以．

（2）高三的得分的所有可能取值为，

，，，

所以的分布列为：

故的期望为．

20．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．

（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．

①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；

②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望．

【答案】（1）等级为丙；（2）①；②分布列见解析，．

【解析】（1），

，

，

因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．

（2）易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为．

①由题意可知，于是．

②由题意可知的取值有、、，

，，．

的概率分布列为：

故．

21．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的名用户，从中随机抽取了名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在元以下(不含元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．

（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?

（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取位女性用户，这位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望；

（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满元可直减元；方案二：手机支付消费每满元可抽奖次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折．如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?

附：

【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）；（3）方案二．

【解析】（1）由已知得出列联表：

所以，

有的把握认为“手机支付族”与“性别”有关．

（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，

，．

（3）若选方案一，则需付款元；

若选方案二，设实际付款元，则的取值为，

，，，

，

，选择第二种优惠方案更划算．

22．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取名购物者进行采访，名男性购物者中有名倾向于选择网购，名倾向于选择实体店，名女性购物者中有名倾向于选择网购，名倾向于选择实体店．

（1）若从名购物者中随机抽取名，求至少有名倾向于选择实体店的概率；

（2）若从这名购物者中随机抽取名，设表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设“随机抽取2名，至少1名倾向于选择实体店”为事件，

则至少有1名倾向于选择实体店的概率．

（2）的所有可能取值为，

，，，

，

∴的分布列为：

∴．

23．为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．

（1）完成下面列联表，并分析是否有97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关；

（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；

（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?

附：

，其中．

【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）分布列见解析，；（3）．

【解析】（1）由题意知对业务水平的满意的为人，对服务水平的满意的为人，得列联表：

，

所以，有的把握认为业务水平与服务水平有关．

（2）的可能取值为；

所以，，．

则的分布列如下，

．

（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，

只对其中一项不满意的客户流失率为，

对两项都不满意的客户流失率为．

从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，

在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有名客户流失的概率为．