（新高考）2021届高三培优专练8 三角函数的图像与性质解析版
展开培优8 三角函数的图像与性质
一、三角函数的性质及其应用
例1：函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，则，．
例2：已知函数的最小正周期为，
且，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】A
【解析】因为且周期为，
所以；
又因为，即，所以函数为偶函数，
所以，，，
又因为，所以，故，
所以在上单调递减．
二、三角函数的图像及其应用
例3：已知函数的部分图像如图所示，则
．
【答案】
【解析】由题意得，
将图中的点代入，解得，，
因为，所以，，即，故．
增分训练
一、选择题
1．已知函数，其中，，，，，，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，其中，，
，，
∴，∴，∴．
又，∴的图象的对称轴为，
∴，，
又，∴，．
将的图象向左平移个单位得的图象，
令，求得，
则的单调递减区间是．
2．已知函数，，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意对任意的恒有，知或，
又，
则有，，所以，，
因为在上有且只有一个最大值，
当，即，则有，解得，
又，所以，，
又因为，所以当时，；当，则有，
由已知可得，解得，同理可得，
综上所述，．
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
由，，解得，，
即函数的增区间为，，所以当时，增区间为，
故选D．
4．已知函数（，），，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在上单调递减 D．函数的图象关于点对称
【答案】B
【解析】已知在上是单调函数，
又∵，，∴在上单调递减，且，
∴，得，∴，
，且在上单调递减，
∴，，
又，∴，∴，，故选B．
5．如图，已知函数，，，是图象的顶点，，，，为与轴的交点，线段上有五个不同的点，，…，，记（，…，），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，函数的周期，即，，的横坐标分别为，，，
故，，则，，
因为，故，
故
．
6．已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时，；③．若关于的方程恰有个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出在上的部分图象如图，
∵关于的方程恰有个实数解，
∴与直线有个交点，
当经过点时，两图象恰有个交点，此时，
当直线经过点时，两图象恰有个交点，此时，
∴的范围是．
7．（多选题）已知函数，则下面结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在上单调递增
【答案】ABD
【解析】，
，
的最小正周期为，，C不正确，
由图象可知D正确．
8．（多选题）若函数，，则函数的图象经过怎样的变换可以得到函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变
B．先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变
C．将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变
D．将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变
【答案】AC
【解析】①函数先向左平移个单位，得到的图象，
再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到的图象；
②函数将横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位，纵坐标保持不变，得到的图象．
9．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．若，是第一象限的角，且，且
D．函数的一个对称轴为
【答案】AD
【解析】由诱导公式可得是奇函数，A正确；
当时为最值，B错误；
，且为第一象限角，但，C错误；
当时，则为最小值，D正确．
10．（多选题）下列对于函数，的判断正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．对于，函数都不可能为偶函数
C．，使
D．函数在区间内单调递增
【答案】BD
【解析】对于选项A，当时，不满足，，故函数不是周期函数，故选项A错误；
对于选项B，函数定义域不关于原点对称，故不可能为偶函数，故选项B正确；
对于选项C，对于，，故选项C错误；
对于选项D，令，，则，，
由，则单调增区间为，故选项D正确．
二、填空题
11．函数，其中的部分图像如图所示，则函数的解析式是 ．
【答案】
【解析】由图易知，，，∴，
因为周期，∴．
由图可知，图像过，将点代入，即，
得，
因为，所以，所以．
12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为为偶函数，
所以，所以，
因为，所以的最小值是．
13．函数（，，）部分图象如图所示，则的最小正周期为 ；的解析式为 ．
【答案】，
【解析】由图可得，，∴，∴．
当时，，可得，
∴，∴，∴．
14．关于，有下列命题
①由可得是的整数倍；
②的表达式可改写成；
③图象关于对称；
④图象关于对称．
其中正确命题的序号为 （将你认为正确的都填上）．
【答案】②③
【解析】对于①，的周期等于，
而函数的两个相邻的零点间的距离等于，
故由可得必是的整数倍，故错误；
对于②，由诱导公式可得，
函数，
故②正确；
对于③，由于时，函数，
故的图象关于点对称，故正确；
对于④，，解得，
即不是对称轴，故错误，
综上所述，其中正确命题的序号为②③．
三、解答题
15．已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象______，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最大值．
在①向右平移个单位长度得到曲线，②向右平移个单位长度得到曲线，③向右平移个单位长度得到曲线，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1）由图象可得，最小正周期，则，
由，所以，，
又，则易求得，所以，
由，，得，，
所以单调递增区间为，．
（2）选择方案①，
由题意得，
，
所以的最大值为．
选择方案②，
由题意得，
，
所以的最大值为．
选择方案③，
由题意得，
，
所以的最大值为．
16．已知函数．
（1）若的最小值是，求；
（2）把函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，若时，求使成立的的取值集合．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴，∴．
（2）∵，
由，知，
∴，，解得，，
∴满足的取值的集合为．
17．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调增区间和对称中心坐标．
【答案】（1）；（2）单调增区间，，对称中心坐标，．
【解析】（1）由题设图象知，，周期，∴，
∵点在函数图象上，∴，即，
又∵，从而，即，
故函数的解析式为．
（2）由（1）可知，，
令，可得，，
∴的单调增区间，，
令，可得，
∴的对称中心坐标为，．
18．已知，，函数．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若，求的值；
（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．
【答案】（1）最大值2，最小值；（2）；（3）．
【解析】（1）∵，，
∴
．
∵，∴，∴，
∴函数在区间上的最大值2，最小值．
（2）若，则，∴，
∵，∴，
∴
．
（3），
令，可得，
∵，在区间上是单调递增函数，
∴，解得，
当时，不符合题意；当时，解得；
当时，不等式组无解，
综上所述，正数的取值范围为．
