（新高考）2021届高三培优专练11 等差数列与等比数列解析版

培优11  等差数列与等比数列一、等差、等比数列的基本运算 例1：我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前项和是       ．【答案】【解析】设，则，，，∴．例2：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为       ．【答案】【解析】∵，，∴数列与的公共项是的非负整数倍加，即，也就是首项为，公差为的等差数列，∴，∴的前项和为．二、等差、等比数列的性质及应用例3：已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）480．【解析】（1）设公比为，∴，，解得或（舍），∴．（2）由（1）可得，∴，，…，，，∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．∴．例4：设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，∵，∴，又∵，故，解得或（舍）．（2）由，可得，设数列的前项和为，则①②①-②，得，∴．三、等差、等比数列的综合应用 例5：已知是无穷数列，给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得．②对于中任意一项，在都存在两项，使得．（1）若，判断是否满足性质①，说明理由：（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．【答案】（1）不满足性质①，详见解析；（2）同时满足性质①和性质②，详见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）若不满足性质①，理由如下：若，，则由性质①，知“不是整数，故不在数列中，不满足性质①．（2）若，则对中任意两项中任意两项，，符合性质①；同时，对于中任意一项，，取，，满足，使得（注：取法不唯一），综上，若，同时满足性质①和性质②．（3）显然中所有项非零，是递增数列，满足性质①，由性质①：任取，则是数列中得某一项，即，由于是递增数列且，故，，，即；又是递增数列，满足性质②，对于中任一项，在都存在两项，使得，故，，即，故有．下面用反证法证明：，若恒成立，而当时，显然不是恒成立的，矛盾，故，即，所以，是递增数列，且同时满足性质①和性质②，数列必是等比数列．四、数列与其他知识的交汇例6：周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足的序列是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A选项：，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除，故选C．                                  增分训练 一、选择题1．在等差数列中，，，记，则数列（    ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】数列为等差数列，，，∴，∴数列为递增数列，∴当时，；当时，，∴当时，，当时，，且，∴数列有最大项，无最小项．2．（多选题）等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值，故选BC．3．数列中，，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，则，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，得．4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，己知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（    ）A．块 B．块 C．块 D．块【答案】C【解析】设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知，，成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为块．5．（多选题）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，，，以下运算和结论正确的是（    ）A．B．数列，，，，是等比数列C．数列，，，，的前项和为D．若存在正整数，使，，则【答案】ACD【解析】以为分母的数共有个，故，，，故A正确；为等差数列，B错误；数列的前项和为，C正确；根据（3）知：，即；，此时，D正确，故选ACD．6．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（    ）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】BCD【解析】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，则，由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，则对任意的恒成立，则，得，此时，数列为常数列，D选项正确，故选BCD．7．记为正项等比数列的前项和，若，且正整数，满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是等比数列，设的公比为，∴，，∴，解得(负值舍去)．又，∴，∴，∴，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是，故选C． 二、填空题8．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．【答案】【解析】因为的前项和，当时，，当时，，所以当时，，，且当时，成立，故，，．9．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿_______斗栗，羊的主人应赔偿_______斗栗．【答案】；【解析】由题意设牛主应赔偿，马主赔偿，羊主应赔偿，则，，成公比为2的等比数列，所以，解得，所以，故答案为；．10．数列的通项，其前项和为，则________．【答案】【解析】由题意可知，，若，则；若，则；若，则，∴，，∴．11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______．【答案】；2037【解析】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如：，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行，令，就可以求出该行的系数和，第1行为，第2行为，第3行为，依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，即杨辉三角第行的数字之和为，杨辉三角的前行的所有项的和为．若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，且，可得当，即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11行所有项的和为．则此数列前46项的和为，故答案为，2037．12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出一个数列满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式________．【答案】【解析】∵函数有两个零点，，∴，解得，∴，则，则，∴，则数列是以为公比的等比数列，又∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则． 三、解答题13．（新高考题型）在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前项和，若________．（1）求；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）选择条件①：设等差数列的公差为，则，解得，故．选择条件②：，当时，，即，当时，，也适合上式，故．选择条件③：设等差数列的公差为，则，解得、或、（不合题意），故．（2）因为，所以，故．14．（新高考题型）在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若________，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）选条件①：，选条件②：，选条件③：．【解析】（1）由题意，解得，，∴．（2）选条件①：，．选条件②：∵，，∴，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，，．选条件③：∵，，∴，∴，①，②由①-②，得，∴．15．设数列满足，．（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和．【答案】（1），，，证明见解析；（2）．【解析】（1）由，，﹐，…猜想的通项公式为．利用数学归纳法证明：（i）当时，显然成立；（ii）假设时猜想成立，即，则时，，所以时猜想也成立，综上（i）（ii），所以．（2）令，则……①，……②，由①②，得，化简得．