4.4与圆有关的最值问题专项测试-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题4.4  与圆有关的最值问题专项测试

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．圆上的点到直线的距离最大值是（        ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，圆，可得圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离最大值是.

2．（2020·辽宁沈阳高一期末）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，当PM的最小值为时，则r的值为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【解析】

如图，由题得，当时，最小时，最小.由题得，所以.

3．直线是圆在处的切线，点P是圆上的动点，则P到的距离的最小值等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，点到直线的距离的最小值等于．

4．（2020·烟台市教育科学研究院）已知为坐标原点，点在单位圆上，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，圆，其圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，则，当最小时，最小，又由点在单位圆上，则的最小值为，则的最小值为。

5．（2020·浙江柯城衢州二中）已知直线与圆有公共点，则的最大值为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，

此时，因为，在递增，所以的最大值.

6．（2020·广东高一期末）已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】圆的圆心坐标为，半径为5，由直线，得，联立，解得，

∴直线l过定点，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，

此时，∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为．

7．（2020·贵州高二学业考试）已知圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线中，切线长的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为即，所以圆心为，半径为;因为圆关于直线对称，所以，所以点在直线上，所以的最小值为，切线长的最小值为。

8．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

9．（2020·广西高一期末）已知点，，若圆C：上存在点P，使得，则实数m的最大值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】根据题意，圆C：，即，其圆心为，半径.

的中点为原点O，点的轨迹为以为直径的圆，若圆C上存在点，使得，则两圆有公共点，又，即有且，解得，

即或，即实数的最大值是。

10．（2020·江苏泰州高一期末）在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】，圆心，半径，，圆心，半径，设点P，则

，即到与两点距离之和的最小值，当、、三点共线时，的和最小，即的和最小值为.

11．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　)

A．5 B．10

C．15 D．20

【答案】A

【解析】如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝

4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，

当且仅当|AC|＝|BD|＝时等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.

12．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ．所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·四川武侯成都七中高一月考）当直线被圆截得的弦最短时，的值为____________.

【答案】

【解析】直线的方程可化为，所以直线会经过定点，解得定点坐标为 ，圆C圆心坐标为，当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短

，，所以，解方程得。

14．（2020·江苏盐城高一期末）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为________.

【答案】

【解析】设，则 ， ，又在圆上

，即，的轨迹方程为，

所以当取最大值时，与相切，此时 ,。

15．（2020·浙江越城绍兴市阳明中学）已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是1，则k的值为__________.

【答案】

【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是1，是切线长），，圆心到直线的距离就是的最小值，，。

16．（2020·台州市书生中学）已知圆，过点作两条互相垂直的直线，，其中交该圆于，两点，交该圆于，两点，则的最小值是_____，的最大值是_____．

【答案】       

【解析】过作，交于点，过作，交于点， 连接，，

设圆心到的距离为，圆心到的距离为， 则，

又，圆心到的距离的最大值为，的最小值为，，

又，所以，

当且仅当时，等号成立，所以，

所以的最小值为，的最大值是.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知圆．

（1）若直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程．

【答案】（1）x+y+1＝0，或者x+y﹣3＝0（2）

【解析】（1）设直线的方程为x+y＝k，圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，

若直线l与圆C相切，，|1﹣k|＝2，得k＝﹣1或者3，

所以直线l的方程为x+y+1＝0，或者x+y﹣3＝0；

（2）根据题意，由于，所以直线x﹣y﹣5＝0与圆C相离，所求最小的圆心一定在过圆C的圆心（﹣1，2）的直线y＝﹣x+1上，且到直线x﹣y﹣5＝0的距离为，设最小的圆心为（a，1﹣a），所以，|2a﹣6|＝3，得，或者，根据题意，

所以最小的圆的方程为．

18．（2020·江西新余高一期末）已知：直线，一个圆与轴正半轴与轴正半轴都相切，且圆心到直线的距离为．

（）求圆的方程．

（）是直线上的动点，，是圆的两条切线，，分别为切点，求四边形的面积的最小值．

（）圆与轴交点记作，过作一直线与圆交于，两点，中点为，求最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（）圆与，轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为，，

圆心到直线的距离为，∴由点到直线距离公式得，解得，∴半径．

∴圆的方程为．

（），是圆的两条切线，，分别为切点，∴≌，∴，

是圆的切线，且为切点，∴，，，

∴当斜边取最小值时，也最小，即四边形的面积最小．即为到的距离，

由（）知，∴，即∴，

∴，∴四边形面积的最小值为．

（）依题，点坐标，

如图，取关于原点的对称点坐标，连接，，则为的中位线，所以，，所以，要使最大，则应最大，所以，如图，当点为的延长线与圆的交点时，．，

即的最大值为．

19．（2020·开鲁县第一中学高一期末）已知一圆的圆心在直线上，且该圆经过和两点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若斜率为的直线与圆相交于，两点，试求面积的最大值和此时直线的方程.

【答案】（1）（2）最大值2，或.

【解析】（1）方法一：和两点的中垂线方程为：，圆心必在弦的中垂线上，联立得，半径，所以圆的标准方程为：.

方法二：设圆的标准方程为：，由题得：，解得：，所以圆的标准方程为：.

（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离为，∴，且，，面积，

当，时，取得最大值2，此时，解得：或

所以，直线的方程为：或.

20．（2020·四川金牛成都外国语学校高一期末）已知关于直线对称，且圆心在轴上.

（1）求的标准方程；

（2）已知动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为，.记四边形的面积为，求的最小值；

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意知，圆心在直线上，即，

又因为圆心在轴上，所以，由以上两式得：，，所以.

故的标准方程为.

（2）如图，的圆心为，半径，因为、是的两条切线，所以，，故，又因为，根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.易知，当点坐标为时，.

此时.