2021年九年级中考专题复习勾股定理训练

勾股定理训练
1．一直角三角形两直角边长分别为4和3，则斜边长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】由勾股定理得，斜边长＝＝＝5，故选：D．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c＝4，若a＝3，那么b的值是（　　）
A．1 B．5 C． D．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，b＝＝＝，故选：C．

3.．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE＝3，则AF的长为（　　）

A．5 B． C．6 D．
【解析】作DH⊥BC于H，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝3，
∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
∴×4×3+×6×3＝×6×AF，
解得，AF＝5，故选：
．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）

A．15 B．16 C．17 D．18
【解析】过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，

∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，
在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15，
根据勾股定理得：CE＝＝17．
故选：C

5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（　　）

A． B． C． D．
【解析】作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PD＝PE，
∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，
∴四边形PMFE为矩形，∴PE＝MF，
设PD＝PE＝MF＝3x，
∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，
∴△BMF∽△BAC，∴＝，即＝，
解得，BM＝5x，
∵PD∥BC，P是MN的中点，
∴BC＝6x+5x＝11x，
由题意得，11x＝4，
解得，x＝，
∴BM＝5x＝，
故选：A．

6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【解析】由题意可得
△ABC的面积是：3×4﹣＝4
∵BD是△ABC的高，AC＝＝2
∴＝4，解得，BD＝
故选：A

7．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2

【解析】过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（﹣2，3），∴PE＝3，OE＝2．
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，
∴OP＝＝，则点P在原点的距离为．
故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，AB＝5，BC＝12，则BD的长（　　）

A．5 B．6 C．6.5 D．8
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝＝13，
∵点D为斜边AC的中点，∴BD＝，∴BD＝6.5，
故选：C．

9．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2020的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】观察，发现：S1＝22＝4，S2＝＝2，
S3＝＝1，
S4＝，…
∴Sn＝，
∴S2020＝．
故选：A．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（　　）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E，∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；
∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），故①正确；
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝AB2，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；
在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示：
在△ACE和△FCD中，，∴△ACE≌△FCD（SAS），∴AC＝FC，
当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，
则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确；
故选：C．

11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积为　 　．

【解析】∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC＝ab＝13cm2；

12．三个正方形的面积如图，当SB＝144，SC＝169时，则SA的值为　 　．


【解析】由题意可得：a2+b2＝c2，

解得：a2＝25，即SA的值为25．
13．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，2∠BAC+∠ACB＝90°，且∠BCD＝∠BAC，若AB＝5，CD＝5，则AC的长为　 　．

【解析】延长BD到B′，使BD′＝BD，连接CB′，
作△CBA′与△CBA关于CB对称，如图，

设∠BCD＝∠BAC＝α，
∵△CBA′与△CBA关于CB对称，∴△CBA′≌△CBA
∴∠BA′C＝∠BAC＝α，A′B＝AB＝5，AC＝A′C，
∵DB′＝DB，∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠CDB′，
∵CD＝CD，∴△CDB≌△CDB′（SAS），∴∠B′CD＝∠BCD＝α，
∵2∠BAC+∠ACB＝90°，∴2α+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣2α，∴∠A′CB＝∠ACB＝90°﹣2α，
∴∠CBA′＝180°﹣∠A′CB﹣∠BA′C＝90°+α，
∴∠CBD+∠CBA′＝90°+α+90°﹣α＝180°，∴D、B、A′三点共线，
∵∠BCD＝∠B′AC，∠CDB＝∠A′DC，∴△CDB∽△A′DC，∴，
设DB＝x，则A′D＝x+5，
∴，化简得，x2+5x﹣50＝0，解得x＝5或﹣10（舍去），
经检验，x＝5是方程的解，∴BD＝5，A′D＝10，
在Rt△A′CD中，A′D2+CD2＝A′C2，
∴，∴．
14．如图，以Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，若斜边AB＝5，则图中阴影部分的面积S1+S2+S3＝　 　．

【解析】∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵图中阴影部分的面积和＝2S1＝2×52＝50．

15．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E为斜边AB上一点，连接CE，若CE＝，则线段AE的长为　 　．

【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，CD＝＝＝，∴AD＝＝，
∵CE＝，∴DE＝＝1，∴AE＝AD﹣DE＝或AE＝AD+DE＝，
故答案为：或．

16．如图，四边形ABCD中，BD⊥DC于点D，∠DCB＝45°，∠ABD＝∠ECD，点F是BC的中点，已知BD＝2，则FE的长是　 　．

【解析】∵BD⊥DC，BD＝2，∠DCB＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，
∴DB＝DC＝2，∴BC＝4，
∵∠ABD＝∠ECD，∠EGB＝∠DGC，∴∠GEB＝∠GDC＝90°，
∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝2，


17．我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高差”等于AB﹣CD，记为h（AB）．

（1）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　 　；
（2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求h（AB）．
【解析】（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝2×4＝8，
h（BC）＝BC﹣AD＝2，
（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，h（AB）＝10﹣4.8＝5.2，

18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；

（2）【解析】当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC＝＝6，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8．
综上所述，BC的长是6或8．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．

（1）【解析】如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，
∵BC＝10，∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，

在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
20．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为（0，6），点P在线段AB上，∠OAB＝∠AOP＝30°．
（1）求点P的坐标；
（2）将△AOP绕点O顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），旋转中的三角形记为△A1OP1（点A、P的对应点分别A1、P1），在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交直线AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，请直接写出α的值．

【解析】（1）如图1，过P作PH⊥OB于H．
图1
∵点A的坐标为（0，6），∴OA＝6，
∵∠OAB＝∠AOP＝30°，
∴∠ABO＝∠BPO＝60°，AP＝OP，
∴△OBP是等边三角形，∴AP＝OP＝BP，
∵PH∥OA，∴OH＝BH，∴PH＝OA＝3，
Rt△AOB中，∵∠BAO＝30°，
∴OB＝2，
∴OH＝，
∴P（，3）；
（2）如图2，当OM＝ON时，
∴∠OMN＝∠ONM，
图2
由旋转得：∠A1OP1＝∠AOP＝30°，∴∠OMN＝75°，
∵∠BAO＝30°，∴α＝∠OMN﹣∠BAO＝75°﹣30°＝45°；
如图3，当OM＝MN时，α＝90°；
图3
如图4，当OM＝ON时，∠AOP＝∠A1OP1＝90°，

∵∠AOA1＝∠POP1＝α，
∴∠AON＝180°﹣α﹣30°＝150°﹣α，
∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝60°﹣（α﹣90°）＝150°﹣α，
∵∠OAP＝∠N+∠AON，
∴30°＝2（150°﹣α），
∴α＝135°，
综上，当△OMN为等腰三角形时，α的值是45°或90°或135°．

21．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝　 　，b＝　 　；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为．
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）

第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：　 　．
【解析】
第一步：a＝4，b＝2；
第二步：如图，OF为所作；
第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．


勾股定理实际应用
1．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（　　）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
【解析】由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝2米，CD＝5米，
∴OD＝＝米，
∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）≈1.58（米）．
故选：A．

2．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：C．
3．在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1，
∴∠AEF+∠CED＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，
∴∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，
∴＝＝，
设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，
∴DE＝AD﹣AE＝3xcm，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42，
解得：x＝，
∴AD＝4×＝．
故选：B．


4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（　　）

A．103寸 B．102寸 C．101寸 D．100寸
【解析】设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得2r＝101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．


5．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝10km，BC＝24km，则M、C两点之间的距离为（　　）

A．13km B．12km C．11km D．10km
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2
∵AC＝10km，BC＝24km，∴AB＝26km，
∵M点是AB中点∴MC＝AB＝13km，
故选：A．
6．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m
【解析】如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：
BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．


7．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是　 　cm．
【解析】在直角△ABC中，
根据勾股定理可得：AC＝＝＝13（cm）．
即铁条最长可以是13cm．
故答案是：13．

8．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解析】连接CD，
∵中点C竖直向上拉升6cm至D点，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD＝90°，AC＝BC＝AB＝8cm，AD＝BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，
∴AD+BD＝20cm，
∵AB＝16cm，
∴该弹性皮筋被拉长了：20﹣16＝4（cm），
故选：B．


9．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB长是（　　）km

A．4 B．5 C．6 D．
【解析】设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．故选：A．

10．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门车辆数是（　　）（≈1.41，≈1.73，≈2.24）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝≈1.73（米），
CH＝CD+DH＝1.73+1.6＝3.33，∴两辆卡车都能通过此门，故选：B．

11．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）

A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米
【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF，
∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（米）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（米），
∴OE+OF＝2EO+EF＝17米，
∴2OE＝17﹣7＝10（米），
∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，
∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12（米），OM＝OF+FM＝12+3＝15（米），
由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13（米），
∴MN＝OM﹣ON＝15﹣13＝2（米）．
故选：A．

12．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是　 　．
【解析】如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，


13．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　 　m．

【解析】设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
14．我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是　 　尺．

【解析】1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．

16．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度为　 　m．

【解析】设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．
在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）．
∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，
解得：x＝2+．
∴BC＝（2+）（m）．
答：CB部分的高度约为（2+）m，
15．图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．
（1）点P到MN的距离为　 　cm．
（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为　 　cm．

【解析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．
图3
OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA﹣AQ＝140﹣60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，
∵OH⊥PQ，
∴PH＝HQ＝40（cm），
∵cos∠P＝＝，
∴＝，
∴PT＝160（cm），
∴点P到MN的距离为160cm，
（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．

由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，
∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，
解得x＝，
∴HT＝AH+AT＝（cm），
∴点Q到MN的距离为cm．

17．将折叠书架画出侧面示意图，AB为面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定．已知BC＝CE＝8cm．如图甲，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点．如图乙，当CF＝17cm时，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为　 　cm．

【解析】∵EF⊥AB，CF＝17cm，BC＝CE＝8cm，

∴EF＝cm，
过F作FG⊥AB，
∵AB⊥BD，
∴FG∥BD，
∵点F恰为CD的中点，
∴CG＝BC＝4cm，
∴EG＝8+4＝12cm，
∵EF＝15cm，
∴FG＝cm，
∴BD＝2FG＝18cm，
∴CD＝，
故答案为：2．

18．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．

【解析】设CE＝x，则DE＝20﹣x，
由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．


19．如图，学校有一块长方形花圃ABCD，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．若假设2步为1米，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草？

【解析】由勾股定理，得
路长＝＝5，
少走（3+4﹣5）×2＝4步．
20．有一条笔直公路l上有A、B两个停靠站，公路旁有一块山地C正在开发，现在C处时常需要爆破作业．如图，已知A、B两站相距2km，且∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，为了安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请说明理由．（≈1.73）

【解析】如图，作CD⊥AB交AB于D点，

∵∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，
∴AC＝1km，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC＝＝（km），
又∵在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，
∴CD＝（km）≈865（m），
∵CD＞500m，
∴不必封锁，
答：公路AB段不需要临时封锁．
21．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．

【解析】由题意得：OA＝12，OB＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝60°，
∴∠COB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．


22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

【解析】（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．