二次函数18精讲 专题14 二次函数中的平行四边形问题

专题14 二次函数中的平行四边形问题
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是.
(2) .
（3）P点的横坐标是或.
【解析】
【解析】(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得
解得
所以抛物线的解析式是.
设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得
解得
所以直线AB的解析式是.
(2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时
==.
（3）若存在，则可能是：
①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能.
②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是.
③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去），
①，所以P点的横坐标是.
所以P点的横坐标是或.
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是94；（3）点Q的坐标为（﹣2+7，27﹣4）．
【解析】【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴9a-3b+3=0a+b+3=0 ，得a=-1b=-2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
-3k+m=0-k+m=4，得k=2m=6，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝-p⋅(2p+6)2＝﹣（p+32）2+94，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣32时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝94，
即△PAE面积S的最大值是94；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴q-p=32p+6=-q2-2q+3，
解得，p=-5+7q=-2+7或p=-5-7q=-2-7（舍去），
当q＝﹣2+7时，﹣q2﹣2q+3＝27﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+7，27﹣4）．
3、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3).
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或．
【解析】
【解析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=3，或x=-1，
∵B（3，0），
∴A（-1，0）；
设直线AD的解析式为y=kx+a，
把A和D的坐标代入得：
解得：k=1，a=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，
则F点即为（0，3），
∵AE=-1-a=2，
∴a=-3；
②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，
设F （a-3，-3），
由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，
解得：a=；
综上所述，满足条件的a的值为-3或．
4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣421x2+1621x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣421x2+4021x；(3) 四边形CMNC′的面积为45m2.
【解析】（1）当y＝0时，﹣421x2＋1621＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵﹣b2a＝-16212×(-421)
∴抛物线w的对称轴为直线x＝2，
∴点D坐标为（2，0）．
当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y＝kx＋b，
b=42k+b=0
解得k=-2b=4
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图.

此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴tan∠1＝tan∠3，
∴FGAG=AOCO．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），
∴-(2xF＋4)xF-(-3)＝34，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，
∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣421x2＋4021x；
(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝43x＋4﹣43m，
直线BC的表达式为y＝﹣47x＋4，
直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，
分别解方程组y=43x+4-43my=-2x+4和y=-2x+2m+4y=-47x+4
解得x=25my=-45m+4和x=75my=-45m+4
∴点M的坐标为（25m，﹣45m＋4），点N的坐标为（75m，﹣45 m＋4），
∴yM＝yN
∴MN∥x轴，
∵CC′∥x轴，
∴CC′∥MN．
∵C′D′∥CD，
∴四边形CMNC′是平行四边形，
∴S＝m[4﹣（﹣45m＋4）]
＝45m2
5、如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.

（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；
②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.
【详解】
【解析】（1）由，
令，得，所以点；
令，得，所以点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点坐标为，
又∵四边形是平行四边形，
∴点坐标为，
将点、点代入二次函数，可得，
解得：，
故该二次函数解析式为：.
（2）∵，，
∴.
①设点运动了秒时，，此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：.
即当点运动到距离点个单位长度处，有.
②∵，且，
∴当的面积最大时，四边形的面积最小，
当动点运动秒时，，，，
设底边上的高为，作于点，
由可得：，
解得：，
∴，
∴当时，达到最大值，此时，
故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.


6、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．

【答案】（1）y＝x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2，2－2），（－2－2，2＋2），（－4，4）.
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，
-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；
（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），
则AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，
∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO
==
-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m
=-（m+2）2+4（-4＜m＜0）；
∴S最大值=4．（3）设P（x，x2+x-4）．
①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，
得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；
②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．
四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是
（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．
【小结】
本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.
7、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；
（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．

【答案】（1）（2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）
【解析】
（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=﹣，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
∴直线AC的函数解析式为：；
（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，﹣m2﹣m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），
化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；
（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，
∴|yE|=|yC|=2，
∴yE=±2．
当yE=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，
x1=0，x2=﹣3，
∴点E的坐标为（﹣3，2）；
当yE=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，
x1=，x2=，
∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；
②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，
∴yE=yC=2，
∴点E的坐标为（﹣3，2）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．

8、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）A(-1,0)，B(3,0)，y=-x-1。（2）94。（3）F1(1,0)，F2(-3,0)，F3(4+7,0)，F4(4-7,0).
【解析】（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-12）2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0)，F2(-3,0)，F3(4+7,0)，F4(4-7,0).
①如图1，

连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，

AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，

此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），
设直线GF的解析式为y=-x+h，
将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+7，
因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；
④如图4，

同③可求出F的坐标为（4-7，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
9、如图，已知二次函数y=ax2-2a-34x+3的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0