2020年四川省德阳市中考数学真题及答案

2020年四川省德阳市中考数学真题及答案
（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
3．如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）

A．160° B．110° C．100° D．70°
4．下列说法错误的是（　　）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
5．多边形的内角和不可能为（　　）
A．180° B．540° C．1080° D．1200°
6．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（　　）

A．19.5元 B．21.5元 C．22.5元 D．27.5元
7．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
8．已知函数y＝，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
9．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）

A．20π B．18π C．16π D．14π
10．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
11．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
12．已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是 　．

14．把ax2﹣4a分解因式的结果是 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ 　．

16．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ 　．
17．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　．
18．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 　海里就开始有触礁的危险．

三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
20．（8分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

21．（13分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
22．（11分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

23．（12分）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
24．（13分）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．


答案与解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【知识考点】相反数．
【思路分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【解题过程】解：的相反数为﹣．
故选：D．
【总结归纳】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【思路分析】利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别进行计算即可．
【解题过程】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
B、（3a）3 ＝27a3，故原题计算错误；
C、3a﹣2a＝a，故原题计算错误；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故原题计算正确；
故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则．
3．如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）

A．160° B．110° C．100° D．70°
【知识考点】垂线；平行线的性质．
【思路分析】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行线的性质定理可得∠ACH，易得∠ACG．
【解题过程】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵EF∥GH，
∴∠ACH＝∠ABD＝70°，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【总结归纳】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质定理，熟记定理是解答此题的关键．
4．下列说法错误的是（　　）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
【知识考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；众数；方差；列表法与树状图法．
【思路分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解题过程】解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确；
抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确；
一组数据的众数有一个或者几个或者没有，故选项C错误；
抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项D正确；
故选：C．
【总结归纳】本题考查抽样调查、用样本估计总体、众数和方差，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
5．多边形的内角和不可能为（　　）
A．180° B．540° C．1080° D．1200°
【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），所以多边形的内角能被180°整除，由此即可求出答案．
【解题过程】解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），n应为整数，所以n﹣2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．
故选：D．
【总结归纳】本题主要考查多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键，难度不大．
6．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（　　）

A．19.5元 B．21.5元 C．22.5元 D．27.5元
【知识考点】扇形统计图；加权平均数．
【思路分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
【解题过程】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
50×10%+30×15%+20×55%+10×20%＝22.5（元），
故选：C．
【总结归纳】本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义．
7．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【知识考点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形的外接圆与外心；正多边形和圆．
【思路分析】根据三角函数即可求解．
【解题过程】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
8．已知函数y＝，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【思路分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【解题过程】解：若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3，
解得：x＝﹣2；
若x≥2，当y＝3时，﹣＝3，
解得：x＝﹣，不合题意舍去；
∴x＝﹣2，
故选：A．
【总结归纳】本题考查反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．
9．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）

A．20π B．18π C．16π D．14π
【知识考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．
【思路分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．
【解题过程】解：这个几何体的表面积＝π•22+π•3•2+2π•2•2＝18π，
故选：B．
【总结归纳】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键．
10．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【知识考点】三角形的面积；含30度角的直角三角形；旋转的性质．
【思路分析】由旋转的性质得出BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'＝60°，得出∠BEA＝90°，设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，求出，可求出答案．
【解题过程】解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'＝60°，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠BEA＝90°，
设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
【总结归纳】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
【知识考点】等腰直角三角形．
【思路分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【解题过程】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．
【总结归纳】本题考查了等腰直角三角形，最短路线问题，正确的作出图形是解题的关键．
12．已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【思路分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，从而得出2a+b＝0，即可判断（1）；根据△＝4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
【解题过程】解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故结论正确；
（2）函数y＝ax2+bx+c中，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵即b＝﹣2a，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4ac＝4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△＝4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b＝﹣2a，
∴﹣＝1，＝＝c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x＝1时，直线y＝ax+b＝a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b＝﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m＝0，得到﹣b﹣mb﹣m＝0，
∴b＝﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是 　．

【知识考点】VD：折线统计图；W4：中位数．
【思路分析】根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．即可得解．
【解题过程】解：由6次成绩的折线统计图可知：
这6次成绩从小到大排列为：
9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2，
所以这6次成绩的中位数是：＝9.75．
故答案为：9.75．
【总结归纳】本题考查了折线统计图、中位数，解决本题的关键是掌握中位数的定义．
14．把ax2﹣4a分解因式的结果是 　．
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【解题过程】解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：a（x+2）（x﹣2）．
【总结归纳】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ 　．

【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【思路分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE＝∠BEC，即可得CB＝CE，利用等腰三角形的性质可怎么BF＝EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【解题过程】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CB＝CE．
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF＝BE，
∵BE＝4，
∴GF＝2．
故答案为2．
【总结归纳】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
16．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ 　．
【知识考点】规律型：数字的变化类．
【思路分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解题过程】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010﹣990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65，
故答案为：65．
【总结归纳】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出m、n的值．
17．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　．
【知识考点】二次函数的最值．
【思路分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
【解题过程】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
【总结归纳】此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键．
18．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 　海里就开始有触礁的危险．

【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【解题过程】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【总结归纳】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解题过程】解：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°
＝﹣2++1﹣2﹣2×
＝﹣2．
【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
20．（8分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

【知识考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【思路分析】（1）证出GB＝GC＝GD＝CF，由菱形的性质的CD＝CF＝DE，DE∥CG，则DE＝GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，由等腰三角形的性质得CH＝BH＝BC＝，证出△CDG是等边三角形，得∠GCD＝60°，由三角函数定义求出CG＝1，则CD＝1，由菱形的性质得DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝60°，由三角函数定义求出DN＝，则DF＝2DN＝．
【解题过程】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，
∴∠GCD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝＝＝1，
∴CD＝1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝∠DCF＝×120°＝60°，
在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×＝，
∴DF＝2DN＝2×＝．
【总结归纳】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
21．（13分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【知识考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法；游戏公平性．
【思路分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【解题过程】解：（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%＝400（人），m＝400×45%＝180，
∵400﹣20﹣60﹣180＝140，
∴n＝140÷400×100%＝35%；
（2）5600×＝1120（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）＝＝，
P（小亮参加）＝1﹣＝，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键．
22．（11分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路分析】（1）首先确定A，B两点坐标，再利用待定系数法求解即可．
（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式＝0，构建方程求解即可．
【解题过程】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，2），B（4，1），
则有，
解得．
（2）过点P作直线PM∥AB，
当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，
由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，
由题意，△＝0，
∴4n2﹣32＝0，
∴n＝﹣2或2（舍弃），
解得，
∴P（﹣2，﹣）．
【总结归纳】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，二元一次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（12分）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【知识考点】二元一次方程的应用；分式方程的应用；一次函数的应用．
【思路分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400 ①，且2000x+1500y≤110000 ②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
【解题过程】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400 ①，且2000x+1500y≤110000 ②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
【总结归纳】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（13分）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有
一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

【知识考点】圆的综合题．
【思路分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．
（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．
（3）证明△NAH∽△NPD，推出＝，证明△PAN∽△OAP，推出＝，推出＝可得结论．
【解题过程】（1）证明：如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB，
∴∠CBO＝∠PBD，
∴∠OBP＝∠CBD＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵CD⊥AB，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴OM＝＝＝3，
∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC＝∠AMO＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴PN＝．
（3）证明：∵PD＝PH，
∴∠PDH＝∠PHD，
∵∠PDH＝∠POA+∠OND，∠PHD＝∠APN+∠PND，
∴∠POA+∠APO＝90°，∠APN+∠APO＝90°，
∴∠POA＝∠ANP，
∴∠ANH＝∠PND，
∵∠PDN＝∠PHD＝∠AHN，
∴△NAH∽△NPD，
∴＝，
∵∠APN＝∠POA，∠PAN＝∠PAO＝90°，
∴△PAN∽△OAP，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴AH•OP＝HP•AP．
【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB＝1+3＝4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【解题过程】解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2，m2＝﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，
当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【总结归纳】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．