2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题03《位置与坐标》（北师大版）（教师版）

专题03《位置与坐标》

1.生活中我们常常需要确定物体的位置，可是在平面内和在空间中确定物体位置的方法是不同的．确定位置的方法很多,常用的有以下几种,但它们都需要两个数据,缺一不可:
（1） 定位法(方位角,距离); （2）. 定位法(经度,纬度); （3）. 定位法(横向区域,纵向区域); （4）. 平面直角坐标系定位法(横坐标,纵坐标).
2.概念:在平面内，两条 且有 的数轴就组成平面直角坐标系.
3.点的坐标:对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴上、y轴上对应的数a、b分别叫做P点的 、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做 .这里的“有序”是指横、纵坐标的位置不能颠倒.
4.几类点的坐标特征.
(1)第一至四象限点的坐标符号分别是: (+,+), (-,-), .
(2)对称点的坐标特征:两点关于x轴对称,横坐标 ,纵坐标互为 ;关于y轴对称， 坐标不变, 坐标互为相反数;关于原点对称， 坐标均互为相反数.
(3)x轴上点的 为0，y轴上点的横坐标为 .
5.平移：原图形的坐标中，横坐标保持______，纵坐标分别______（或减少）a（a＞0），则所得图案被向上（或下）平移a个单位长度，形状、大小未发生改变；反之，______坐标不变，______坐标分别增加（或减少）a（a＞0），则所得图案被向右（或左）平移a个单位长度．
6.轴对称：原图形的坐标中，______保持不变，纵（或横）坐标分别乘以______，则所得的图案与原图案关于横轴（或纵轴）对称．
7.伸长：新图案的坐标变为原图案坐标的______倍，则将原图案______ a倍，便可得新图案
8.压缩：新图案的坐标变为原图案坐标的______，则将原图案______ ，便可得新图案．

考点1、由点的位置求“宝藏”坐标
例1（2020遵义模拟）在一次 “寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图1所标示的两个标志点A、B,A、B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是（ ）
图1

A． Ｂ．　　 Ｃ．或　　Ｄ．或
【答案】C
【解析】由网格中两个标志点A(2，3)、B(4，1) ,这两个标志点到“宝藏”点的距离都是，先确定原点然后找距离是点的坐标即可.
解：如图2所示，故选C.
图2

【名师点睛】应先仔细分析已知条件，再确定直角坐标系，可连结两个标志点，再作出该线段的垂直平分线，在网格中找满足无理数的点时，把网格一个单位长度看作1，通过计算即可找到所求的“宝藏”点.
考点2、确定物体位置
例2（2020威海）如图3①某广场地面是用A、B、C三种地砖平铺而成的. 三种类型地砖上表面图案如图3②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置；第一行的第一块（A型）地砖记作（1， 1），第二块（B型）地砖记作（2， 1）…若（m, n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是 ．
图3

【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数.
【解析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件.
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数.
【名师点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力.分析图形，寻找规律是关键.
考点3、特殊点坐标的特征
例3（2020大庆）点P(2，3)关于y轴对称点Q的坐标为 ．
根据平面直角坐标系中任意一点p（x, y）,关于y轴的对称点的坐标是（-x， y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可求答.
【答案】（-2， 3）.
【解析】点P（2， 3）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2， 3）.
故答案为：（-2， 3）.
【名师点睛】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标，解题的关键是掌握关于x轴-y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数.
考点4、图形连续翻折求坐标
例4（2020攀枝花模拟）如图4，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2020次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2020，则点P2020的坐标是 ．
图4

【答案】（2020，0）.
【解析】先确定三角形顶点的坐标，然后通过循环寻找规律.，即可求出点P2010的坐标.
解：由题意得：P1的横坐标为1，P2的横坐标为2，有一定的规律，横坐标每翻转一次，就增加1，所以点P2020的横坐标为2020. 即点P2020的坐标是（2020，0）.
【名师点睛】本题是一道以图形连续翻折为背景的坐标规律探索题，它考查了同学们的图形分析能力和探究问题的能力，这类题只有按照题目的要求，读懂问题内容，寻找出规律，问题自然得到解决.
考点5、坐标与图形变化—对称
例5（2020达州）如图，点P（-2，1）与点Q（a，b）关于直线l(y=-1)对称，则a+b= ．

【答案】-5
【解析】利用轴对称的性质求出点Q的坐标即可.
解：∵点P（-2, 1）与点Q（a、b）关于直线l（y=-1）对称，
∴a=-2，b=-3，
∴a+b=-2-3=-5，
故答案为：-5.
【名师点睛】本题考查坐标与图形变化---对称，解题的关键是连接题意，灵活运用所学知识解决问题.
考点6、坐标与图形变化--平移
例6（2020绵阳）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为 ．
【答案】（-3， 3）.
【解析】根据中平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的图形就是想上（或向下）平移a个单位长度.（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.）即可得结论.
解：∵将点A（-1， 2）先向左平移2个单位，横坐标-2，
再向上平移1个单位+1，
∴平移后得到的点A1坐标为：（-3， 3）.
故答案为：（-3， 3）.
【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，解决本题的关键是掌握平移定义.
考点7、坐标与图形变化—旋转
例7（2020广西）以原点为中心，把点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
【答案】（-4， 3）.
【解析】如图，根据M（3， 4）逆时针旋转90°得到点N，则可得点N的坐标为（-4， 3）,
解：如图，∵点M（3， 4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（-4， 3）.
故答案为：（-4， 3）.
【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020桂林模拟）在平面内，确定一个点的位置一般需要的数据个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为在一个平面内，一对有序实数确定一个点的位置，即2个数据，所以选B．
2．（2020井冈山模拟）点M在x轴的上侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（− 5，3）或（5，3） C．（3，5） D．（− 3，5）或（3，5）
【答案】D
【解析】∵点距离x轴5个单位长度，∴点M的纵坐标是±5，又∵这点在x轴上侧，∴点M的纵坐标是5；∵点距离y轴3个单位长度即横坐标是±3，∴M点的坐标为（-3，5）或（3，5）．故选D．
3．（2020长沙一模）若＝0，则点P（x，y）的位置是（　　）
A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上 C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上
【答案】B
【解析】∵＝0，x不能为0，∴y=0，∴点P（x，y）的位置是在去掉原点的横轴上．故选B．
4．（2020合肥一模）如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，− 4）
【答案】B
【解析】∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，∴m+1=0，∴m=-1，把m=-1代入横坐标得：m+3=2．则P点坐标为（2，0）．故选B．
5．（2020随州模拟）点P（− 1，3）关于原点中心对称的点的坐标是（　　）
A．（− 1，− 3） B．（1，− 3） C．（1，3） D．（3，− 1）
【答案】B
【解析】根据中心对称的性质，得点P（-1，3）关于中心对称的点的坐标为（1，-3）．故选B．
6．如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（　　）
A．横坐标相等 B．纵坐标相等 C．横坐标的绝对值相等 D．纵坐标的绝对值相等
【答案】A
【解析】∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等．故选A．
7．（2020河北一模）A（− 3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（− 3，2） C．（3，− 2） D．（− 2，3）
【答案】A
【解析】∵A（-3，2）关于原点的对称点是B，∴B（3，-2），∵B关于x轴的对称点是C，∴C（3，2），故答案为A．
8.对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，− b）．如f（1，2）=（1，−2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，− 9））=（　　）
A．（5，− 9） B．（− 9，− 5） C．（5，9） D．（9，5）
【答案】D
【解析】g（f（5，-9））=g（5，9）=（9，5）．故选D．
9. （2020河南模拟）如图1，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（−2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（　　）
图1

A．（− 3，2） B．（2，− 3） C．（1，−2） D．（3，−1）
【答案】B
【解析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，∴A2的横坐标为2，纵坐标为-3；∴点A2的坐标是（2，-3）．故选B．
10．（2020辽阳模拟）矩形ABCD中的顶点A、B、C、D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B、D两点对应的坐标分别是（2，0）、（0，0），且A、C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（1，−1）
C．（1，−2） D．（，）
【答案】B
【解析】已知B，D两点的坐标分别是（2，0）、（0，0），∴OB=2，∴OB2=22=4，则可知A，C两点的横坐标一定是1，且关于x轴对称，则A，C两点纵坐标互为相反数，设A点坐标为：（1，b），则有：(＝4，解得b=1，所以点A坐标为（1，1）点C坐标为（1，-1）．故选B．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. （2020洛阳一模）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第________象限．
【答案】一
【解析】根据各象限的点的坐标特征，点（1，2）位于第一象限．
12. （2020河北模拟）知点A（a −1，a+1）在x轴上，则a=________．
【答案】-1
【解析】∵点A（a-1，a+1）在x轴上，∴a+1=0，解得a=-1．故答案填-1．
13. （2020武汉模拟）知P点的坐标是（− 3，2），P′点是P点关于原点O的对称点，则P′点的坐标是________．
【答案】P′（3，-2）．
【解析】∵点P和P′关于原点对称，∴P′（3，-2）．
14．（2020威海模拟）已知点 P（− 4，5），点A与点P关于y轴对称，则点A的坐标是________．
【答案】（4，5）．
【解析】∵点P（-4，5），点A与点P关于y轴对称，∴点A的坐标是（4，5）．故答案填：（4，5）．
15．（2020天门一中模拟）如图2，已知A在灯塔B的北偏东30°的方向上，则灯塔B在小岛A的________的方向上．
图2

【答案】南偏西30°
【解析】由图可得，灯塔B在小岛A的南偏西30°的方向上．
16．（2020黄陂一中模拟）在直角坐标系中，A（1，0），B（− 1，0），△ABC为等边三角形，则C点的坐标是________．
【答案】C（0，），（0，-）．
【解析】∵AB=2，以点A为圆心，2为半径画弧，交y轴于点C1，C2，在直角三角形AC1O和直角三角形AC2O中，解直角三角形得C1O=C2O=，∴C（0，），（0，-）．
17．（2020孝感一中模拟）直角坐标平面上有一个轴对称图形，点A（3，−1）、B（3，−7）是此图形上的一对对称点．若此图形上有一点C（−2，−9），则点C在图形上的一个对称点坐标为________．
【答案】（-2，1）．
【解析】∵A、B关于某条直线对称，且A、B的横坐标相同，∴对称轴平行于x轴，又∵A的纵坐标为-1，B的纵坐标为-7，∴故对称轴为y=（-1-7）÷2=-4，∴y=-4．则设C（-2，-9）关于y=4的对称点为（-2，m），于是（-9+m）÷2=-4，解得m=1．则C的对称点坐标为（-2，1）．故答案填：（-2，1）．
18．（2020鄂州一中模拟）如图3，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为________（用n表示）
图3

【答案】（2n，1）．
【解析】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．故答案填：（2n，1）．
三、解答题（共66分）
19．（2020潜江一中模拟）如图4，确定点A、B、C、D、E、F、G的坐标．请说明点B和点F有什么关系？
图4

【答案】各点的坐标为：A（-4，4）、B（-3，0）、C（-2，-2）、D（1，-4）、E（1，-1）、F（3，0）、G（2，3），点B和点F关于y轴对称，且关于原点对称．
【解析】各点的坐标为：A（-4，4）、B（-3，0）、C（-2，-2）、D（1，-4）、E（1，-1）、F（3，0）、G（2，3），点B和点F关于y轴对称，且关于原点对称．
20．（2020荆州一中模拟）如图5，某地为了城市发展，在现有的四个城市A、B、C、D附近新建机场E．试建立适当的直角坐标系，写出点A、B、C、D、E的坐标．
图5

【答案】A（0，0）B（8，2）C（8，7）D（5，6）E（1，8）．
【解析】以A点作为坐标原点，经过A点的水平线作为x轴，经过A的竖直线作为y轴，每个小方格的边长作为单位长，建立平面直角坐标系，各点的坐标为：A（0，0）B（8，2）C（8，7）D（5，6）E（1，8）．
21．（2020广东模拟）如图6，等腰梯形ABCD的上底AD=2，下底BC=4，底角B=45°，建立适当的直角坐标系，求各顶点的坐标．
图6

【答案】建立适当的直角坐标系，见解析；A（0，1），B（-1，0），C（3，0），D（2，1）．
【解析】作AE⊥BC，DF⊥BC分别与E，F，

则EF=AD=2，BE=CF=1，
直角△ABE中，∠B=45°，则其为等腰直角三角形，因而AE=BE=1，CE=3．
以BC所在的直线为x轴，由B向C的方向为正方向，AE所在的直线为y轴，由E向A的方向为正方向建立坐标系，则A（0，1），B（-1，0），C（3，0），D（2，1）．
22．（2020安徽一中模拟）如图7，是一台雷达探测器测的结果．图中显示，在A、B、C、D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置．
图7

【答案】各点的表示方法如下：A（5，0°）、B（3，30°）、C（3，120°）、D（5，240°）．
【解析】各点的表示方法如下：A（5，0°）、B（3，30°）、C（3，120°）、D（5，240°）．
23．（2020郑州一中模拟）如图8，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为 A（−3，0），B（−3，−3），C（−1，−3）
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF，并写出D，E，F的坐标．
图8

【答案】（1）S△ABC=3；（2）所画图形如下所示，其中△DEF即为所求，见解析；D（-3，0），E（-3，3），F（-1，3）．
【解析】（1）S△ABC=AB×BC=×3×2=3；
（2）所画图形如下所示，其中△DEF即为所求，
D，E，F的坐标分别为：D（-3，0），E（-3，3），F（-1，3）．

24．（2020宜昌模拟）在直角坐标系中，用线段顺次连接点（−2，0），（0，3），（3，3），（0，4），（−2，0）．
（1）这是一个什么图形？
（2）求出它的面积；
（3）求出它的周长．
【答案】（1）如图所示：得到一个四边形；见解析；（2）面积=2.5；（3）周长=．
【解析】（1）如图所示：得到一个四边形；

（2）面积=×1×2+×1×3=2.5；
（3）周长=．
25．（2020武汉一中模拟）如图9，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上．
（1）请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称，其中点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对称点；
（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度．
图9

【答案】（1）所作图形如下，见解析；（2）A'B'=
【解析】（1）所作图形如下：

（2）A'B'=
26．（2020上海模拟）阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点
的对称中心的坐标为
观察应用：
（1）如图10，在平面直角坐标系中，若点P1（0，−1）、P2（2,3）的对称中心是点A则点A的坐标为______；
（2）另取两点B（−1.6,2.1）、C（−1,0）有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P3、P8的坐标分别为______、_____.
拓展延伸：
（3）求出点P2020的坐标.
图10

【答案】（1）（1，1）；（2）（），（2，3）；（3）P2020（3.2，−1.2）；
【解析】（1）（1，1）
（2）（），（2，3）
（3）→→→→→→→
的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环.
∵2020÷6=336…4，
∴P2020的坐标与P4的坐标相同，即P2020（3.2，−1.2）；