2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题02《全等三角形》（教师版）

专题02 全等三角形
1．全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等．
（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．
（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．
3．全等三角形的判定
（1）判定方法：
①依据定义．
②依据判定定理．
（2）判定定理
①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．
④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．
⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．
（3）证明思路
①
②
③
（4）常用策略：添加辅助线法
①连接两点的线段．
②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．
③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．
④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．
⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．
4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，
∴QD=QE．
5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，
∴OQ平分∠AOB．
6．尺规作图
（1）作已知角（课本P36）．

（2）作角平分线（课本P48）．

（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．

（4）作已知直线的垂线（课本P62）．
①过已知直线上一点作已知直线的垂线

②过已知直线外一点作已知直线的垂线


考点一、全等三角形的性质
例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. AC=DE B. ∠BAD=∠CAE C. AB=AE D. ∠ABC=∠AED.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二、全等三角形的判定
例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）

A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA
【答案】A
【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
故选：A.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
考点三、角平分线的性质
例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ）

A. 3 B. C. 2 D. 6
【答案】A．
【解析】∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC， DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点四、角平分线的判定
例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．
求证：点P在∠MON的平分线上.

【答案】见解析.
【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，

∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，
∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT，
又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP
∴△APS≌△BPT ∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上.
【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．
考点五、尺规作图
例5 （2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点.
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图， BE即为所求；

②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，
（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，
位置关系为：EF∥AC.
【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
考点六、全等三角形的判定与性质
例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）

A. B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，
∵ ∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴AC=，
∵点B为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS）
∴BD=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△CAN中，AN