2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题03 等腰三角形的轴对称性（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）专题03 等腰三角形的轴对称性【典型例题】1．（2020·浙江温州·月考）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A、B两点能构成几个等腰三角形．（　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C2．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是__________【答案】80° 【专题训练】一、选择题1．（2020·湖南长沙·月考）下列判断错误的是（　　）A．等腰三角形是轴对称图形                       B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等                     D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合【答案】D2．（2020·聊城市经济技术开发区蒋官屯街道办事处中学月考）如图，CD平分∠ACB，BE⊥CD于D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=9，BC=5，则BD的长为(    )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C3．（2020·北京八中乌兰察布分校月考）乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（    ）A．50° B．65° C．65°或25° D．50°或40°【答案】C4．（2020·山东长清·期中）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为(　  　)A．90° B．84° C．64° D．58°【答案】B5．（2020·江苏灌云·月考）已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，CD＝FD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF＝AC，则∠ABF的度数为（　　）A．18° B．36° C．48° D．63°【答案】A6．（2020·湖北省江夏区教育局月考）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（　　）A． B． C． D．【答案】B 二、填空题7．（2020·山东省陵城区江山实验学校月考）等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则其周长为________．【答案】20 cm或22 cm8．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF的周长是____________cm．【答案】109．（2020·北京八中乌兰察布分校月考）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;【答案】60°10．（2020·河南二模）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为______．【答案】70°11．（2020·湖北省江夏区教育局月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．【答案】12．（2020·浙江萧山·月考）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．【答案】45°或67.5°或90° 三、解答题13．（2020·灌南县新知双语学校月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB＝CD．【答案】解：（1） ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，    ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；（2）证明：∵∠DAB＝45°，∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝CD．14．（2020·江苏江都·月考）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3-t）cm，△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3-t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=BQ，∴3-t=t，∴t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．15．（2020·江苏东台·月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E．（1）若∠BAC=120°，则∠DAE=    　  ．（2）连接OA、OB、OC，△ADE的周长为6cm，△BOC的周长为14cm，求OA的长．【答案】解：（1）∵DM、EN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴DB=DA，EA=EC∴∴∴（2）如图，由题意得：OA=OB=OC，由（2）知，BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=△ADE的周长=6∴△BOC的周长=BC+OB+OC=BC+2OA=14，∴2OA=14-6=8，OA=4（cm） 16．（2020·浙江萧山·月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，BC=8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD=4，点E是AB的中点，连接DE．    （1）求∠B的度数；    （2）求三角形BDE的面积．  【答案】（1）∵AB＝AC，且AD是∠BAC的平分线∴，∴ ∴；（2）∵点E是AB的中点∴ ∴ ∵∴． 17．（2020·罗平县富乐第二中学期中）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，又∵OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵ED⊥OA，CD⊥OE，∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF. 18．（2020·江苏灌云·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为秒.(1)运动_____秒时，CD=3AE.(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=则∠ADE=_______(用含的式子表示)．【答案】（1）由题可得，BD=CE=2t，∴CD=12-2t，AE=8-2t，∴当DC=3AE时，12-2t =3（8-2t），解得t=3，故答案为3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，∴12-2t=8，解得t=2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE=∠BAD，又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，∴∠ADE=∠B，又∵∠BAC=α，AB=AC，∴∠ADE=∠B=（180°-α）=90°-α．故答案为90°-α． 19．（2020·南部县第二中学月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）证明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中

∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由（1）知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=110°，
∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=70°；
（3）解：∵若△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 20．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上∵∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB∴DB=DC∴点D在线段BC的中垂线上∴AD垂直平分BC∵AB=AC∴AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=∠BAC＝40°；（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°∴∠ADC=2∠ADE∴DE平分∠ADC；（3）DE＝AD＋BD，理由如下：在DE上截取点F，使DF=AD∵∠ADE=60°∴△ADF为等边三角形∴∠AFD=60°，AD=AF∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°∴∠ADB=∠AFE∵AB＝AE∴∠ABE=∠E∴△ABD≌△AEF∴BD=EF∴DE=DF＋EF=AD＋BD