江苏2020中考一轮复习培优 第19课时 等腰三角形 练习课件
展开课时训练(十九) 等腰三角形
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.如图K19-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 ( )
图K19-1
A.50° B.51°
C.51.5° D.52.5°
2.[2017·雅安]一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是 ( )
A.12
B.13
C.14
D.12或14
3.[2018·淄博]如图K19-2,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 ( )
图K19-2
A.4 B.6
C.4 D.8
4.[2017·天津]如图K19-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 ( )
图K19-3
A.BC B.CE
C.AD D.AC
5.[2016·无锡]如图K19-4,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是 ( )
图K19-4
A. B.2
C.3 D.2
6.[2018·临沂]如图K19-5,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是 ( )
图K19-5
A. B.2
C.2 D.
7.[2019·常德] 如图K19-6,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D',D,B三点在同一直线上,则∠ABD的度数是 .
图K19-6
8.[2019·东营] 如图K19-7,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是 .
图K19-7
9.[2016·泰州]如图K19-8,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于 .
图K19-8
10.[2018·遵义]如图K19-9,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B
为 度.
图K19-9
11.[2019·眉山]如图K19-10,在四边形ABCD中,AB∥DC,点E是CD的中点,AE=BE.
求证:∠D=∠C.
图K19-10
12.[2018·宁波]如图K19-11,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
图K19-11
13.[2019·重庆B卷]如图K19-12,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
图K19-12
|拓展提升|
14.[2018·绵阳]如图K19-13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为 ( )
图K19-13
A. B.3-
C.-1 D.3-
15.[2017·连云港]如图K19-14,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.
图K19-14
【参考答案】
1.D [解析]∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,
∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED.
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,
∴∠B=25°.
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,
∴∠BDE=∠BED=(180°-25°)=77.5°,
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故选D.
2.C [解析]一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:①腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;②腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.
3.B [解析]∵MN∥BC,
∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,
∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,
∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,
∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,
∴∠AMN=∠ACB=∠ANM,
∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,
∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,
∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,
故选B.
4.B [解析]由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.
5.A [解析]∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,
∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2.
∵CA=CA1,
∴△ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,
∴∠BCB1=∠ACA1=60°.
∵CB=CB1,∴△BCB1是等边三角形,
∴BB1=2,
∴BD=DB1=,
又∵BA1=2,∠A1BB1=90°,
∴A1D==.
故选A.
6.B [解析]∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA
=90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.
7.22.5° [解析]根据题意可知△ABD≌△ACD',∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD'=AD,∴∠ADD'=∠AD'D=
=67.5°,∵D',D,B三点在同一直线上,∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.
8.,0 [解析]设CE交x轴于点F,因为△ACE是等边三角形,所以∠CAD=30°,那么CF=AC=1.由勾股定理求得AF=.因为CD2=DF2+CF2,CD=2DF,所以可求得DF=.由“HL”定理易知△ABO与△DCF全等,所以AO=DF=.所以OD=AF-AO-DF==,即点D的坐标为,0.
9.20° [解析]过点A作AD∥l1,如图,
则∠BAD=∠α=40°.
∵l1∥l2,∴AD∥l2.∴∠DAC=∠β.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∴∠β=∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°.
10.37 [解析]因为AD=AC,E为CD的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=(180°-∠DAC)=74°,因为BD=AD,所以∠B=∠ADC=37°.
11.证明:∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,
∵DC∥AB,
∴∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA,
∴∠DEA=∠CEB.
在△DEA和△CEB中,
∴△DEA≌△CEB(SAS),∴∠D=∠C.
12.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∵
∴△ACD≌△BCE.
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.
又AD=BF,∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE==67.5°.
13.解:(1)(方法一):∵AB=AC,∠C=42°,
∴∠B=∠C=42°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.
(方法二):∵AB=AC,∠C=42°,
∴∠B=∠C=42°.
∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.
(2)证明:∵EF∥AC,∴∠CAF=∠F,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAF=∠BAF,
∴∠F=∠BAF,∴AE=FE.
14.D [解析]过点A作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MN⊥AC于点N,如图所示.
∵△ECD为等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°.
∵AE=,AD=,
∴AF=EF=1,CE=CD==1+,
∴CF=,∴AC==2,∠ACF=30°,
∴∠ACD=60°.
设MN=x,∵△ABC为等腰直角三角形,CA=CB,
∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x,
又∵CN==x,
∴AC=AN+CN=x+x=2,
解得x=3-,
∴S阴影=S△ACM=×AC×MN=3-.
故选D.
15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:
因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.
(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.
