江苏2020中考一轮复习培优 课时训练15 二次函数的综合应用
展开课时训练(十五) 二次函数的综合应用
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为 ( )
A.25 cm2 B.50 cm2
C.100 cm2 D.不确定
2.如图K15-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过多少秒时,四边形APQC的面积最小? ( )
图K15-1
A.1 B.2 C.3 D.4
3.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使△PMN的面积等于的点P共有 个.
4.[2018·长春]如图K15-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A'的横坐标为1,则A'C的长为 .
图K15-2
5.[2019·长春] 如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为 .
图K15-3
6.已知:如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接OA,OP.当OA⊥OP时,求P点的坐标.
图K15-4
7.已知边长为4的正方形CDEF截去一个角后成为五边形ABCDE(如图K15-5),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积,求此时PM的长.
图K15-5
8.如图K15-6,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发.
(1)经过多长时间,△PBQ的面积等于8 cm2?
(2)经过多长时间,五边形APQCD的面积最小,最小值是多少?
图K15-6
|拓展提升|
9.如图K15-7,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为 ( )
图K15-7
A.ab=-2 B.ab=-3
C.ab=-4 D.ab=-5
10.如图K15-8,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,☉P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n= (用含a的代数式表示).
图K15-8
11.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.
(1)求a,b满足的关系式及c的值.
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.
(3)如图K15-9,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图K15-9
【参考答案】
1.B [解析]设一条直角边为x cm,则另一条直角边长为(20-x)cm,
∴直角三角形的面积S=x(20-x)=-(x-10)2+50.
∵-<0,
∴当x=10时,S最大=50 cm2.故选B.
2.C [解析]设P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm2,则有:
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.
∴当t=3 s时,S取得最小值.故选C.
3.4 [解析]二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,
设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,
S△PMN==MN·|y|,
可得y1=,y2=-.
当y=时,x=;
当y=-时,x=,
所以共有四个点.
4.3 [解析]如图,设A'C与y轴交于点D.
∵点A与点A'关于点B对称,
∴AB=A'B.
又A'C∥x轴,
∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,
∴△ABO≌△A'BD,
∴AO=A'D,
∵点A'的横坐标为1,
∴A'D=AO=1,∴点A坐标为(-1,0).
把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx,得m=1,
∴抛物线解析式为y=x2+x,
∴点A'坐标为(1,2).
令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,
∴A'C=1-(-2)=3.
5.2 [解析]在y=ax2-2ax+中,令x=0,可得y=,
∴点A的坐标为0,,
∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a,
∴点M的坐标为2,,
抛物线的顶点P的坐标为1,-a,
∴直线OP的解析式为y=-ax,
令y=,可得x=,
∴点B的坐标为,.
∵M为线段AB的中点,
∴=4,解得a=2.
6.解:∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,
∴-=2,
∴a=-,
∴抛物线的表达式为:y=-x2+x,
∴顶点A的坐标为(2,1),
设对称轴与x轴的交点为E.
如图,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tan∠OAE=,tan∠EOP=,
∵OA⊥OP,
∴∠OAE=∠EOP,
∴=,
∵AE=1,OE=2,
∴=,
解得PE=4,
∴P(2,-4).
7.解:设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,
则矩形PNDM的面积S=xy(2≤x≤4),
易知CN=4-x,EM=4-y,
作BQ⊥NP于Q,则有BQ=CN,PQ=NP-BC,
且有=,
即=,
∴y=-x+5,
∴S=xy=-x2+5x(2≤x≤4),
此二次函数的图象开口向下,
对称轴为直线x=5,
∴当x≤5时,S随x的增大而增大.
∵2≤x≤4,
∴当x=4,即PM=4时,S有最大值.
8.解:(1)设运动时间为t秒,则PB=6-t,BQ=2t,
则S△PBQ=PB·BQ=×(6-t)×2t=8,
解得t=2或t=4,
故经过2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)S△PBQ=PB·BQ=×(6-t)×2t=-t2+6t.
当t=-=3时,S△PBQ最大==9,
故S五边形APQCD最小=S矩形ABCD-S△PBQ最大=6×12-9=63(cm2).
故当t=3秒时,五边形APQCD的面积最小,最小值是63 cm2.
9.B [解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).
令y=0,得ax2+b=0,∴x=±,
∴A-,0,B,0,
∴AB=2,BC==.
要使四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,
∴2=,
∴4×-=b2-,
∴ab=-3.
∴a,b应满足关系式ab=-3.
故选B.
10. [解析]如图,连接PF.设☉P与直线y=-n相切于点E,连接PE.则PE⊥AE.
∵动点P在抛物线y=ax2上,
∴设P(m,am2).
∵☉P恒过点F(0,n),
∴PF=PE,即=am2+n.
∴n=.
11.[分析] (1)求出点A,B的坐标,即可求解;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数图象的对称轴x=-≥0,由(1)知b=2a+1,即-≥0,求解即可;
(3)假设存在符合题意的是P.过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,易求∠QPH=45°,S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,则|yP-yQ|=1,即可求解.
解:(1)根据直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,则y=2,
令y=0,则x=-2,
故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),将B(0,2)的坐标代入y=ax2+bx+c,得c=2,
则函数表达式为:y=ax2+bx+2,
将点A坐标代入上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,
则函数图象的对称轴x=-≥0,而b=2a+1,
即-≥0,解得:0>a≥-,
故a的取值范围为:-≤a<0.
(3)当a=-1时,二次函数表达式为:y=-x2-x+2,假设存在符合题意的点P,
过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,
∵A(-2,0),B(0,2),
∴OA=OB,AB=2,
∴∠BAO=45°,
∴∠PQH=45°,
S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,
解得PQ=1,
则yP-yQ=1,
在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,
则直线m与抛物线的两个交点分别与点A,B组成的三角形的面积也为1,
故|yP-yQ|=1,
设点P(m,-m2-m+2),则点Q(m,m+2),
∴-m2-m+2-m-2=±1,
解得:m=-1或-1±,
故点P的坐标为(-1,2)或(-1+,)或(-1-,-).
