江西省上高二中2021届高三上学期第五次月考试题 数学(文) (含答案)
展开2021届高三年级第五次月考数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1. 已知集合,,则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2. 在复平面内,复数对应的点的坐标是,则( )
A. B. C. D.
3. 设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 等差数列的公差不为零,其前项和为,若,则的值为( )
A. 15 B. 20 C. 25 D. 40
5. 已知点在直线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数,设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 设,满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
9. 秦九韶,字道古,汉族,鲁郡(今河南范县)人,南宋著名数学家,精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208年出生于普州安岳(今四川安岳),咸淳四年(1268)二月,在梅州辞世。 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”,即是已知三角形的三条边长,求三角形面积的方法.其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为,若满足,,
且a<b<c,则用“三斜求积”公式求得的面积为( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在R上的奇函数,且当
时,则( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
11.在中,点为边上一点,,且,,,,则 ( )
A. B. C. D.
12. 已知函数,函数的图象过定点,对于任意,有,则实数的范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.函数 的值域为 .
14. 设向量满足,则的最小值为 .
15. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,A=,若有最大值,则实数的取值范围是__________.
16. 已知函数,有下列结论:
① 的图像关于点中心对称
② 的图像关于直线对称
③ 的最大值为
④ 既是奇函数,又是周期函数
其中正确的是________
三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式与对称中心;
(2)在中,角的对边分别是,
若,,当取得最大值时,
求的面积.
18. (本小题满分12分)
某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析,按年龄段、、、、分成了五组,其频率分布直方图如右图所示,参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.
年龄(单位:岁) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] |
保费(单位:元) | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 |
(1)求频率分布直方图中实数的值,并求出该样本
年龄的中位数;
(2)现分别在年龄段、、、、中各选出人共人进行回访. 若从这人中随机选出人,求这人所交保费之和大于元的概率.
19.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,是数列的前项和.
求满足的最大正整数的值.
20. (本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,点,分别为和的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,求点到平面
的距离.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若函数在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,,证明:函数有且仅有两个零点,且两个零点互为倒数.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(本小题满分10分)
在极坐标系中,直线:,圆:。以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程;
(2)已知点在圆上,点到直线和轴的距离分别为,,求的最大值.
选修4-5:不等式选讲
23.(本小题满分10分)
已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的最小值为,且,求
的最小值。
2021届高三年级第五次月考数学(文科)试卷答案
1—12:CABBC CBDBC DA
13. 14. 1 15. 16. ①②④
17. 17.解:(1)由图象知道振幅,周期,所以....1分
将代入解析式得,所以,因为,所以,所以 ........................3分
又由
得对称中心为
综上,解析式为,对称中心.........6分
(2)由得:,
所以2,
因为,所以,所以,,......9分
,,,所以,
所以.所以,此时,又
所以是等边三角形,故..........12分
18.解:
(1),解得:. ………3分
设该样本年龄的中位数为,前两个矩形的面积之和为,前三个矩形的面积之和为,所以
,解得; ………6分
(2)设回访的这人分别记为、、、、,从人中任选人的基本事件有:、、、、、、、、、,共种.
事件“两人保费之和大于元”包含的基本事件有:、、、,共种.
两人保费之和大于元的概率为. ………12分
19.解:(1)点()均在函数的图象上,
,即..............................1分
当时,.........3分
当时,,满足上式.....................4分
数列的通项公式是...........................5分
(2)由(1)得:, .......................6分
∴ ...........7分
. .........................................8分
..........................10分
令 ,解得: ........................11分
故满足条件的最大正整数的值为.........................12分
20.(1)证明:取的中点,连结,(如图)
∵, ∴,………2分
由棱柱的性质知:,
又 ∴, ………3分
∴四边形为平行四边形,所以 ………4分
∵平面,平面
∴平面 ………6分
(2)设点到平面的距离为
∵是的中点,且,
∴ ………7分
由平面及直棱柱的性质知,到平面的距离为 ∴ ………8分
由直棱柱的性质知:,
又,且∴平面
又平面故 ………9分
∴ ………10分
∵ ………11分
∴ ………12分
21.(1)求导: ................1分
由已知有,即,所以(经验证成立)......2分
切点为
故切线方程为:...................................3分
(2)的定义域为且
若,则当时,..............................5分
故在上单调递增,
若,则当;当
故在上单调递增,在上单调递减...........7分
(3)
求导:,因为在上递增,在递减,
所以在上递增,
又....8分
故存在唯一使得,所以在上递减,在上递增
又,所以在内存在唯一根 ...................10分
由得,又
故是在上的唯一零点.
综上,函数有且仅有两个零点,且两个零点互为倒数................12分
22. 【解析】:(1)由:得,;
因为,代入有直线的直角坐标方程为:,即为
由圆:得,,因为, ,,所以圆直角坐标方程为:
由得,圆的参数方程为(为参数) .............5分
(2)设点坐标为
则
又
那么
当时,取得最大值 ...................................10分
23. 【解析】:(1)当时,,又,
则有或或 ............................2分
解得或或。即或。
所以不等式的解集为或 ....................5分
(2)因为在处取得最小值
所以,则
由柯西不等式
所以,当且仅当,即,时,等号成立。
故的最小值为 ..............................10分
(2)另解:
当且仅当时,等号成立。
故的最小值为 ..............................10分