备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点07 平面向量 学案

易错点07  平面向量

易错点1：平面向量的线性运算

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

易错点2：平面向量的数量积

(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

易错点3：共线定理的应用

1.若A、B、C三点共线，且,则

2.中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

易错点4：向量中的最值

求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；

②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．

                 01    平面向量的线性运算

例1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=(    )

A． -   B．  -  C． +   D．  +

【警示】利用三点共线，即可得出结论。

【解析】

故选A

【叮嘱】(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

1.（2015）设D为ABC所在平面内一点，则(     )

A.  B.

C.   D.

【解析】由题意得

．故选A

2.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，

则

A．        B．       C．          D．

【解析】,故选A

                02  平面向量的数量积

例2．（2020年全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（    ）

A.       B.       C.         D.

【警示】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【解析】，，，.

，

因此，.故选：D.

【叮嘱】 (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

1.（2016年全国3卷）已知向量 , 则ABC=____.

【解析】由题意

2.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为__.

【解析】

                 03  共线定理的应用

例3．（2020年江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【警示】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【解析】∵三点共线，∴可设，∵，

∴，即，

若且，则三点共线，∴，即，

∵，∴，∵,,，∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，∴，解得，∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.

【叮嘱】1.若A、B、C三点共线，且,则

2.中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

1.（2017年全国3卷）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（   ）

A．3  B．2  C．    D．2

【解析】如图建立直角坐标系，则，，  ，，由等面积法可得圆的半径为，

所以圆的方程为，

所以，，，

由，得，所以=，

设，即，

点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，

所以，解得，所以的最大值为3，

2.已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为       。

【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，

∴，

当且仅当

故答案为

                04   向量中的最值

例4（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.    B.     C.     D.

【警示】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【解析】

的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，故选：A.

【叮嘱】求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；

②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．

 1.（2017年全国2卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是_____.

【解析】以BC为轴，以BC边上的高为轴建立坐标系，则,设

2.设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 _____

（2020年天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【解析】，，，

，解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.故答案为：；.

1.（2020年全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】，，，.

，

因此，.故选：D.

2．（20142）设向量,满足，，则

A．1           B．2        C．3          D．5

【解析】由  ①，   ②，①②得．

3.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，

则（  ）

A．        B．       C．          D．

4.（2015）设D为ABC所在平面内一点，则(     )

A.  B.

C.   D.

【解析】由题意得

．故选A

5.已知向量，满足，则向量在向量方向上的投影是_____. 

【解析】

，故答案为

6.（2020年全国1卷）设为单位向量，且，则______________.

【解析】因为为单位向量，所以

所以

解得：,所以,故答案为：

7.（2020年全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k＝__________.

【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.故答案为：．

8.（2020年北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，，

则点，，，

因此，，.故答案为：；.

9.（2020年浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【解析】，，，

.故答案为：.

10.设向量、、满足= =1，·=，=，则的最大值等于_____.

【解析】= =1，·=，

设则

根据三角形的正弦定理得，外切圆得直径

当OC为直径时，模最大，最大值为2.