备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点11 直线和圆 学案

易错点11  直线和圆

易错点1： 直线的方程

若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。

易错点2：圆的方程

    (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；   

(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.  

易错点3：直线与圆相离

直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

易错点4：直线与圆相切

直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 

易错点5：直线与圆相交  

直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. 

            01  直线的方程

例1（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是

A．    B．   C．   D．

【警示】考试中的动直线一般有两类：一是绕着定点旋转；一是斜率不变，做平移运动。本题的突破点就是直线过定点，直线过定点，还有根据斜率关系知道两条直线互相垂直。

【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，故

．故选B．

【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论：

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点。

1.（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：平行”的

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。故选：.

2．已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A．或 B．或 C． D．

【解析】已知点，与直线，且直线与线段相交，

直线，即直线，它经过定点，

的斜率为，的斜率为，

则直线的斜率的取值范围为或，

故选：.

            02   圆的方程

例2(2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【警示】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【解析】设圆心，则，化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.

【叮嘱】求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：  

  (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.   

(2)根据已知条件，建立关于或的方程组. 

  (3)解方程组，求出a,b,r或E,D,F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

1．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

A．             B．

C．             D．

【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．

2．圆关于原点对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称，

所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为.

故选：B.

            03   直线与圆相离

例3（2020年全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【警示】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

【叮嘱】直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

1.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】将圆化成在平面直角坐标系下的形式，

圆 ，圆心 为 ，半径 .

已知直线，那么，圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离，所以上各点到的距离的最小值为.故选：A.

2．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】将圆化成在平面直角坐标系下的形式，

圆 ，圆心 为 ，半径 .

已知直线，那么，圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离，所以上各点到的距离的最小值为.

故选：A.

            04   直线与圆相切

例4．经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为(　　)

A．x＋y－3＝0  B．x＋y－3＝0或x＝3

C．x－y－3＝0  D．x－y－3＝0或x＝3

【警示】注意先判断点M是在圆上还是圆外，然后选择恰当的方式来求解，由题意可知M点是在圆外。

【解析】由x2＋y2－2x－4y－3＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2，当过点M(3,0)的切线存在斜率k时，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，∵圆心到它的距离为2，∴有＝2⇒k＝1；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心到它的距离为2≠2，∴x＝3不是圆的切线．因此切线方程为x－y－3＝0.

【叮嘱】1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．

2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法

1.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.

由题意可得，可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

2.已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

【答案】见解析

【解析】　由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2.

(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，

所以点P在圆C上．

又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1.

所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.

(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C的外部．

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，

即x－3＝0.

又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，

即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，

解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.

当切线为3x－4y－5＝0时，

因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.

当切线为x＝3时，切线长为1.

            05  直线与圆相交

例5(2020•天津卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【警示】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．故答案为：5．

【叮嘱】【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2.

(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则|AB|＝ ＝ |x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．　　

1．（2013安徽）直线被圆截得的弦长为

A．1         B．2            C．4        D．

【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.

2．(2018全国卷Ⅰ)直线与圆交于，两点，则=__．

【解析】由题意知，所以圆心坐标为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以．

1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【解析】设圆心C(x,y)，则，化简得，

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.

2．(2018全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A．   B．  C．  D．

【解析】圆心到直线的距离，

所以点到直线的距离．根据直线的方程可知，两点的坐标分别为，，所以，

所以的面积．

因为，所以，即面积的取值范围是．故选A．

3．（2016年北京）圆的圆心到直线的距离为

A．1          B．2           C．         D．2

【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.

4．（2016年山东）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是

A．内切           B．相交          C．外切        D．相离

【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．

5．（2016年全国II卷）圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=

A．−          B．−             C．            D．2

【解析】由题意知圆心为，由距离公式有，解得，故选A．

6．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

A．             B．

C．             D．

【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．

7．（2015安徽）直线与圆相切，则的值是

A．－2或12     B．2或－12         C．－2或－12       D．2或12

【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，所以或．

8．（2015新课标2）已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为

A．       B．       C．        D．

【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的外接圆圆心时的中心，又等边的高为，故中心为，故外接圆的圆心到原点的距离为．

9．（2014新课标2）设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是

A．     B．     C．      D．

【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以符合题意，排除B、D；当点的坐标为时，，过点作圆的一条切线，连接，则在中，，

则，故此时在圆上不存在点，使得，

即不符合题意，排除C，故选A．

10．（2014福建）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是

A．   B．   C．   D．

【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．