备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点06 三角函数与解三角形 学案

易错点06  三角函数与解三角形

易错点1：解三角函数的定义

此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。

易错点2：三角函数图象变换

函数图象的平移变换解题策略：

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

易错点3：由三角函数图像求解析式

结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；

“第五点”为ωx＋φ=2π.

易错点4： 给值（式）求角（值）

解三角函数的给值求值问题的基本步骤

（1）先化简所求式子或所给条件；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

易错点5：三角形中边角关系

此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

            01  三角函数的定义

例1.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（    ）

A. cos2α＞0   B. cos2α＜0   C. sin2α＞0   D. sin2α＜0

【警示】此类题型，考生会因为忽略考虑角所在的象限而导致错误。

【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【叮嘱】此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。

．

1．（2014新课标Ⅰ）若，则（   ）

A．      B．       C．     D．

【解析】 知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，

故，选C．

2．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（  ）

A．       B．       C．        D．

【解析】由角的终边在直线上可得，，

．故选B

            02  三角函数图象变换

例2．（2020•江苏卷）将函数y＝的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

【警示】此题先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

【详解】

,当时,故答案为：

【叮嘱】 函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

1．（2017新课标Ⅰ）已知曲线：，：，则下面结论正确的是(   )

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

【解析】把的解析式运用诱导公式变为余弦，

：

则由图象横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选D

2．（2016全国II）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为

A．              B．

C．              D．

【解析】函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为，令，解得，所以所求对称轴的方程为，故选B．

            03  由三角函数图像求解析式

例3．2020•全国1卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A.    B.     C.     D.

【警示】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：

所以函数的最小正周期为故选：C

【叮嘱】结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；

“第五点”为ωx＋φ=2π.

1.（2020•新全国1山东）下图是函数y＝ sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝ （    ）

A.   B.   C.   D.

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，即函数的解析式为：

.

而,故选：BC.

2．（2015新课标Ⅱ）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（  ）．

A．，        

B．，

C．，           

D．，

【解析】由图象可知，，，

所以，

所以函数的单调递减区间为，

，即，．

            04   给值（式）求角（值）

例4（2020•江苏卷）已知 ＝，则的值是____.

【警示】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【解析】

,故答案为：

【叮嘱】解三角函数的给值求值问题的基本步骤

（1）先化简所求式子或所给条件；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

1.（2020•全国3卷）已知2tanθ–tan(θ＋)＝7，则tanθ＝（    ）

A. –2    B. –1    C. 1     D. 2

【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.

（2020•全国1卷）已知，且，则（    ）

A.    B.    C.     D.

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.故选：A.

            05   三角形中边角关系

例5.（2020•全国2卷）中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC＝3，求周长的最大值.

【警示】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【解析】（1）由正弦定理可得：，

，，

（2）由余弦定理得：，

即.（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

【叮嘱】此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

1.（2020•全国3卷）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（    ）

A.     B.     C.     D.

【解析】在中，，，

根据余弦定理：,,

可得 ，即,由,

故.故选：A.

2.（2020•江苏卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【解析】（1）由余弦定理得，所以.

由正弦定理得.

（2）由于，，所以.

由于，所以，所以

所以

.

由于，所以.

所以.

1．（2011新课标）设函数，则（  ）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【解析】∵=，

所以在单调递减，对称轴为，即．

2．（2012新课标）已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（  ）

A．        B．       C．       D．

【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（），

∴=（），∵，∴=，故选A.

3．（2017新课标Ⅲ）设函数，则下列结论错误的是（  ）

A．的一个周期为      B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为  D．在单调递减

【解析】∵的周期为，，所以A正确；

∵，所以B正确；

设，而，C正确；选D．

4．（2012新课标）已知，函数在单调递减，则的取值范围是(   )

A．   B．     C．    D．

【解析】函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移个单位得的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数的减区间是，所以要使函数在上是减函数，需满足，解得．故选A．

5．（2016全国I）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ）

A．11                  B．9                   C．7                   D．5

【解析】因为为函数的零点，为图像的对称轴，所以（，为周期），得（）．又在单调，所以，又当时，，在不单调；当时，，在单调，满足题意，故，即的最大值为9．

6.（2013新课标Ⅰ）已知锐角的内角的对边分别为，，，，则

A．       B．      C．      D．

【解析】，，由余弦定理解得．

7.（2016年全国II）的内角的对边分别为，若，

，，则        ．

【解析】∵，，∴，，

∴，

由正弦定理得：解得．

8.（2020•北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.

【详解】因为，

所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.

9.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【解析】由余弦定理有，
因为，，，所以，

所以，.

10.（2020•浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B；

（II）求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

【解析】（I）由结合正弦定理可得：

△ABC为锐角三角形，故.

（II）结合(1)的结论有：

.

由可得：，，

则，.

即的取值范围是.