2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 期末模拟测试卷02（教师版）

2020-2021学年九年级数学上学期期末模拟测试卷02
数学·全解全析


一、单选题
1．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（　　）

A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3
【答案】A
【解析】
过点D作DG∥AC, 根据平行线分线段成比例定理，得FC=2DG，AF=3DG，因此得到AF：FC的值．
解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．
∵AD=4DE，
∴AE=3DE，
∵AD是△ABC的中线，
∴
∵DG∥AC
∴，即AF=3DG
，即FC=2DG，
∴AF：FC=3DG：2DG=3：2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键．
2．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
cosA===，
故选D．

3．已知二次函数y＝a（x＋1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（ ）
A．若图象经过点(0，1)，则﹣＜a＜0
B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大
C．若(﹣2020，y1)，(2020，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点(，y1)，(＋n，y2)对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2
【答案】C【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝a（x＋1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点(0，1)，则1＝a（0＋1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；
∵二次函数y＝a（x＋1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，
∴该函数的对称轴为直线x＝，
∴0＜＜，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；
∴若(﹣2020，y1)，(2020，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；
∴若图象上两点（，y1），（＋n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＝，故选项D错误；
故选：C．
4．下列命题中正确的个数是（　　）
①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；
②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；
③过三点可以确定一个圆；
④两圆的公共弦垂直平分连心线．
A．0个 B．4个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】
试题解析：① 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为5.故错误.
②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外离.故错误.
③过不共线的三点可以确定一个圆；故错误.
④相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．故错误.
故选A.
5．如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC，再根据矩形的对边平行得到∠DCA＝∠BAC，从而得到∠EAC＝∠DCA，令AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出，设DF＝3x，FC＝5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后进行计算即可得到答案．解：如图，AE与CD交于点F，

∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
令AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，找到相似三角形是解题的关键．
6．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时， y的最大值是15，则m的值是（　　）
A．﹣19或 B．6或或－10 C．﹣19或6 D．6或或－19
【答案】C
【解析】
根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而分析计算可以解答本题．解：∵二次函数，
∴当时，即m＜-4，
∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当x=-2时，，得m=-19；
当时，即-4≤m≤8时，
∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当时，，得（舍去），；
当时，即m＞8，
∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当x=4时，，得（舍去）；
综上可得，m的值是-19或6.
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质以及二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

二、填空题
7．已知，且，则的值为______．
【答案】4
【解析】
设，再用k表示x、y、z，代入方程求出k后，再求x即可．解：设，
则，，，
那么，
解得，，
则．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了比例的性质，解答关键是用k表示x、y、z，构造方程求解．
8．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．

【答案】
【解析】
根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．
故答案为：10﹣20．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
9．已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为______．
【答案】；
【解析】
先令y=0求得点A、B的坐标，再求得顶点M的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．解：令y=0，则有，
解得：x1=1，x2=3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
∵=（x﹣2）2﹣1，
∴顶点M的坐标为（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，
∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，
∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），
即平移后的解析式为y=（x+1）2=x2+2x+1，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键．
10．如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，=，=，那么向量关于、的分解式为 ．

【答案】；
【解析】
试题解析：


故答案为
11．如图，四边形中，，对角线的交点为，交的延长线于，若，，则______．

【答案】7
【解析】
根据平行得到对应边成比例，求出线段长，先根据求出OC长，再根据求出OE长，最后可以求出AE长．∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的定理．
12．如图，已知于点，于点，且，，，在线段上找一点，使与相似，若这样的点有且只有两个，则的值是______．

【答案】7或
【解析】
当∠ACE=∠BDE时，△ACE∽△BDE；当∠ACE=∠BED时，△ACE∽△BED；解得BE，AE，得出a后进行验证；设AE=x，则BE=a-x，得，方程有唯一解时，解得a，进行验证；∵于点，，∴，
当时，，
∴，∴①，
当时，，
∴，即②，
∴由①②可得，解得：，
∴，∴，，
当时，，两个三角形相似，
当时，，两个三角形全等，
符合题目要求．
设，则，∴，
整理得：，
方程有唯一解时，，
解得：，（舍去），
∴，
当时，
，两个三角形相似，
时，两个三角形相似，
同样是两个点可以满足要求，
综上所述，与相似，若这样的点有且仅有两个，
则的值是7或．
故答案为：7或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、分类讨论；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，在中，AB=AC=10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作，射线DE交AC边于点E，若BD=4，则AE= __________．

【答案】
【解析】
先求出CD的长，再证明△ABD∽△DCE，得，代入即可求解.解：如图1，作AH⊥BC于H，

∵
∴
∴BH=ABcosB=10×=8，
∵AB=AC，
∴BC=2BH=16，∠B=∠C，
∴CD=16-4=12，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，
∵∠ADE=∠B，
∴∠EDC=∠BAD，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴.
∴
故答案是：.
【点睛】
本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形，等腰三角形的性质等．
14．如图，坐标平面上，二次函数的图形与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，且．若与的面积比为，则值为________．

【答案】1
【解析】
利用二次函数求出点D和C的坐标，然后利用三角形面积公式以及△ABC与△ABD的面积比为1：3，即可求出k的值．解：∵，
∴，
令x=0代入，
∴，
∴，
∴，
∵与的面积比为，
∴，
∴，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出点C与点D的坐标，然后利用面积公式求出k的值．
15．在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为________________米．(参考数据：，，精确到米)

【答案】
【解析】
作CG⊥EF、延长GH交AD于点H、作HP⊥AB可得四边形BCHP为矩形，从而知BC=PH=6、BP=CH、∠CHD=∠A=37°，先求出AP= 8，作DQ⊥GH知∠CDQ=∠CEG=30°，求出CQ=2、DQ=2，再求得QH的长，得到CH=QH-CQ，根据AB=AP+PB=AP+CH可得答案．如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，

则四边形BCHP为矩形，
∴BC=PH=6(米)，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，
∴AP=(米)，
过点D作DQ⊥GH于点Q，
∴∠CDQ=∠CEG=30°，
∴CQ=CD=2(米)，DQ=CDcos∠CDQ(米)，
∵QH=(米)，
∴CH=QH-CQ(米)，
则AB=AP+PB=AP+CH(米) ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．

【答案】
【解析】
求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上
∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN
∵∠ABC+∠CBM=180°
∴∠CBM=60°
∵AB=4
∴BC=4
∴CM=BCsin∠CBM=2
MB=BCcos∠CBM=2
∴AM=AB+MB=6
∴MN=AM=6
∴CN=MN-CM=6-2
故答案为：6-2．
【点睛】
本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键．
17．如图，在矩形中，，，连接，点，分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上当为直角三角形时，线段的长为______．

【答案】或
【解析】
在折叠的过程中，是定值，所以当为直角三角形时，讨论当和两种情况。当时，此时D点与N点重合，如图1，根据折叠的性质，设，在中，构造勾股定理即可求出MC；当时，如图2，根据折叠的性质，得出四边形PNCM为正方形，利用，设，，构造相似比即可得出答案．解：根据题意，是定值
当时，此时D点与N点重合，如图1

因为折叠，则设，




在中，
即
即；
当时，如图2

因为折叠，
，
，四边形PNCM为正方形，
则，
，设，
即
即
综上：或
故答案为：或．
【点睛】
本题考查图形的变换折叠的性质，清楚折叠提供的隐藏条件，解题时设未知数和分类讨论的思想是解题的关键，通过勾股定理和相似三角形构造等量关系，属于中考常考题型．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为_____．

【答案】6.4
【解析】
作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.

【点睛】
此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.三、解答题
19．观察如图的表格：

0
1
2

________
1
________

3
________
3
（1）求、、的值．并在表内的空格中填上正确的数；
（2）设，求这个二次函数的图象的对称轴与顶点坐标．
【答案】（1）表格中的数为：0，4，2；a，b，c的值分别是：1，-2，3；（2）对你轴为直线，顶点坐标为
【解析】
（1）先把，代入中求出a，在计算自变量是0、2所对应的函数值，把，和，代入函数解析式得到方程，即可求解；
（2）把很一般式配成顶点式求解即可；解：（1）当，时，，则，
当时，；当时，；
把，和，分别代入得，解得，，
、、的值分别为1，-2，3，
当时，；
故答案为0，4，2；
（2），
所以这个二次函数的图象的对你轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，准确分析计算是解题的关键．
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF的长；
（2）设，，试用，表示向量．

【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）连接BD交EF于点O，用平行线分线段成比例定理分别求出EO，FO的长；
（2）根据题意可得，=，由三角形法则计算向量.（1）连接BD交EF于点O．
∵EO∥AD，AD=3，AE：EB=2：1
∴，∴EO=1，
同理OF=，
∴EF=．
（2）=+，
=+
=+

21．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；
（2）求E、两点的距离．
【答案】（1）点D′到BC的距离为（45+70）厘米；（2）E、E′两点的距离是厘米．
【解析】
（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE可得出E、E′两点的距离．解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．

由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=90×sin60°=45厘米．
又∵CE=40厘米，DE=30厘米，
∴FH=DC=DE+CE=70厘米，
∴D′H=D′F+FH=（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．

由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′=AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，
∴厘米，
∴EE′=30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．
22．如图，中，、分别为上两点，满足，为的中点，且．
（1）求证：；
（2）当和相似的时候，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据条件证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形对应边成比例得到结论；
（2）根据相似三角形对应角相等得到∠A=∠CBD，利用外角和定理证明∠BDC=∠ABC，结合（1）中的结论可以证明∠ABC=∠BEC，从而证得BC=CE．（1）延长PO交AC于点H，则PH⊥AC，
∵∠A+∠ABD+∠ACE=90°，
∴在△ABC中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴BD⊥CE，
∵P为BE的中点，
∴BP=OP，
∴∠BOP=∠ABD，
∵∠BOP+∠POE=∠ACE+∠COH=90°，且∠POE=∠COH，
∴∠BOP=∠ACE=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即；

（2）∵∠A+∠ABD=∠BDC，
∴∠A≠∠BDC，
∵，
∴∠A=∠CBD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠CBD+∠ABD=∠ABC，
∴∠BDC=∠ABC，
∵∠ACE=∠ABD，
∴∠BEC=∠BDC，
∴∠ABC=∠BEC，
∴BC=CE．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
23．如图，在平面直角坐标系中，有一条抛物线，和轴交于和两点．直线，分别和抛物线交于除了原点以外的和两点．已知：和相似．
（1）试求抛物线的解析式．
（2）在轴上是否存在点，使得和相似．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请证明你的结论．

【答案】（1）；（2）存在，或．
【解析】
（1）先分别联立两条直线与抛物线的解析式求出点B、C的坐标，再根据抛物线的解析式可得点A的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得OA、OB、OC的值，最后根据相似三角形的性质可求出m的值，由此即可得出答案；
（2）设点P的坐标为，先根据相似三角形的性质、角的和差可得，从而可得出点P必在x轴的负半轴上，再根据两点之间的距离公式可得OB、AB、AC的值，然后根据相似三角形的定义分两种情况，分别根据相似三角形的性质求解即可得．（1）∵点B为与除了原点以外的交点，
∴联立，
解得或，
，
同理可得：，
对于，
当时，，解得或，
，
，，，
由直线和的解析式得：，
又∵和相似，
∴或，
即或（无解，舍去），
解得或（舍去），
则抛物线的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
设点P的坐标为，
由（1）可知，，
，
，
，
，即，
要使和相似，只能是，
点P必在x轴的负半轴上，
，
由（1）可知，，
，
，
，
根据相似三角形的定义，分以下两种情况：
①当时，
则，即，
解得，
此时点P的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、一次函数与二次函数的综合、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．
（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BC﹣CE=9﹣t；则△BQE的面积y=BE•QE；
（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=，sin∠D=；在Rt△PDG中，通过sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，
那么GQ=DQ﹣DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2．若△DPQ为等腰三角形时，分三种情况：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③当DQ=PQ时；
（3）①当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；
②当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6﹣t，所以求得GQ=DQ﹣DG的值，根据平行线的判定定理知GP∥BE，可证△GPQ∽△QBE，所以，
GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上．
解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，
∴∠EQC=45°．
∴EC=EQ=t，
∴BE=9﹣t．
∴，
即：
（2）①当DQ=DP时，∴6﹣t=10﹣3t，解得：t=2s．
②当PQ=PD时，过P作PH⊥DQ，交DE于点H，
则DH=HQ=，由HP∥EF，
∴ 则，解得s
③当QP=QD时，过Q作QG⊥DP，交DP于点G，
则GD=GP=，可得：△DQG∽△DFE，
∴，则，
解得s
（3）假设存在某一时刻t，
使点P、Q、B三点在同一条直线上．
则，过P作PI⊥BF，交BF于点I，
∴PI∥DE，
于是： ，
∴，
∴ ，则 ，
解得：s．
答：当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．

25．如图，在O中，半径长为1，弦，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的交BC延长线于点E．

（1）若，求与公共弦的长；
（2）当为等腰三角形时，求BC的长；
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交于G，连接OC、CG交OA于H，由题意易得，，进而可证，，最后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解；
（2）当是等腰三角形时，观察图形可知，只有，则有，设，则有，进而求出x，最后求解即可；
（3）作于N，根据题意可证，进而有，则可得，最后进行求解即可．解：（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交于G，连接OC、CG交OA于H，
∵BG是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

（2）如图2中，
当是等腰三角形时，观察图形可知，只有，
∴，
∵，
∴，设，
则有，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，
∴，
∴；

（3）如图3中，作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．