2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 精专题07 二次函数（二）倒数第二题（中考模拟）与压轴题（教师版）

专题07二次函数（二）-倒数第二题（中考模拟）与压轴题

一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．
（1）求直线BC及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）S△DBC=3；（3）F（0，﹣）．
【解析】
试题分析：
（1）由题意可设平移后的直线的解析式为y=kx+3，代入点B的坐标可求得k的值，从而可得直线BC的解析式y=-x+3，由此可解得点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式列方程组可求得b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴，由（1）中所得抛物线的解析式求出其顶点D的坐标即可由S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面积了；
（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．由（1）（2）易得CD=，tan∠OCD=tan∠GCF=，则CG=2FG，由∠GCF=45°，∠FGD=90°可得△FGD为等腰直角三角形，由此可得FG=GD，由此可得CD=3FG，则FG=，CG=，从而在Rt△CFG中，可得CF=，则OF=CF﹣OC=，就可得到点F的坐标为（0，﹣）．
试题解析：
（1）将直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=kx+3，
将点B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣4，c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴D（2，﹣1）．
∴S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．
（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G，由（1）（2）易得CD=，

∵C（0，3），D（2，﹣1），
∴CD=，
∵tan∠OCD=tan∠GCF=，
∴CG=2FG．
又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，
∴△FGD为等腰直角三角形，
∴FG=GD．
∴CD=3FG，
∴FG=．
∴CG=2FG=．
∴在Rt△CFG中，依据勾股定理可知：CF=．
∴OF=CF﹣OC=．
∴F（0，﹣）．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求∠FAB的余切值；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．

【答案】抛物线的解析式为y=．抛物线的对称轴为x=1；（2）；（3）（0，6）或P（0，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）根据代入法求出函数的解析式，然后根据对称轴的关系式求出对称轴；
（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M，设E（0，t），则OE=t，然后根据题意得到用t表示的F点的坐标，代入解析式可求得t的值，然后根据∠FAB的余切值；
（3）由C点的坐标求出D点的坐标，然后根据∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF，然后分情况讨论：①当点P在AF的上方和②当点P在AF的下方，求出P点的坐标.试题解析：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，
∴抛物线的解析式为y=+bx﹣3．
将A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．
∴抛物线的对称轴为x=﹣=1．
（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M．

设E（0，t），则OE=t．
∵，
∴= = ．
∴F（6，4t）．
将点F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t= ．
∴cot∠FAB=．
（3）∵抛物线的对称轴为x=1，C（0，﹣3），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D（2，﹣3）．
∴cot∠DAB= ，
∴∠FAB=∠DAB．
如下图所示：

当点P在AF的上方时，∠PFA=∠DAB=∠FAB，
∴PF∥AB，
∴yp=yF=6．
由（1）可知：F（6，4t），t=．
∴F（6，6）．
∴点P的坐标为（0，6）．
当点P在AF的下方时，如下图所示：

设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，
∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m= ，
∴G（，0）．
设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得： ，
解得：k= ，b=﹣ ．
∴P（0，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．
3．平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．

【答案】（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）
【解析】
试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；
（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，
∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），
∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），
∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P（1，4）；
（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，
∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，
∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；
（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，
CM=,PM=4，BC=，
∴或 ，
∴CQ=或4，
∴Q1(0，),Q2（0，-1）.

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）点Q的坐标为（4，0）或（9，0）.
【解析】
试题分析：（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为（3,0），根据两点式写出二次函数解析式，再令y=0，求出y的值，即可的点C的坐标；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的长，然后根据△ABC的面积为6，列方程求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，分两种情况求解：当Rt△QGH∽Rt△GFH时，求得m的一个值；当Rt△GFH∽Rt△FCO时，求得m的另一个值.
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
当x=0时，y=﹣3a，
∴C（0，﹣3a）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=3a，
∴S△ACB=AB•OC=6，
∴6a=6，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，
∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，
∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，
∴OF=2m+1，HF=1，
当∠CGF=90°时，
∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，
∴∠GQH=∠HGF，
∴Rt△QGH∽Rt△GFH，
∴=，即=，解得m=9，
∴Q的坐标为（9，0）；
当∠CFG=90°时，
∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，
∴∠CFO=∠FGH，
∴Rt△GFH∽Rt△FCO，
∴=，即=，解得m=4，
∴Q的坐标为（4，0）；
∠GCF=90°不存在，
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

点睛：本题考查了二次函数与几何综合，用到的知识点有：二次函数的对称性，图形与坐标，中心对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和相似三角形的判定与性质.
5．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．
【解析】
试题分析：（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，
可得y关于x的解析式；
（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF．
∵ ∠G是公共角，
∴ △EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,
∵ △EFG∽△AEG，
∴ ,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°,
∴ ∠A=∠FEH,
∴ tanA =tan∠FEH,
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,
∴ EH=2HF,
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF=，
∴EH=，
∴y=FG·EH=x·=定义域：（0