2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 专题05 锐角的三角比（二）计算题与解直角三角形的应用（教师版）

专题05 锐角的三角比（二）-计算题与解直角三角形的应用

一、填空题
1．比较大小：________．
【答案】
【解析】
首先将转化成，然后通过比较两个正切值即可得出答案．，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查比较函数值的大小，将余切转化成正切是解题的关键．
2．计算：_________．
【答案】
【解析】
根据特殊角的三角函数值即可求解.
故答案为：
【点睛】
此题主要考查三角函数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
3．如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________．

【答案】
【解析】
延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，，，，设，则，，，解出即可得出答案．解：延长CB、AD交于F点，作
小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为


在中，
又坡面的坡度为
则

设，则，


解得：
（米）
故答案为：．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
4．七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为______米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
先根据题意画出图形，然后设，通过特殊角的三角函数值表示出AD，然后利用，解出x的值即可得到答案．如图，A点为塔顶 ，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交AB于点D，则BD的长度即为所求．

设 ，
，
．
在中，
，
，
解得，
∴，
即此时无人机距离地面的高度为米，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度为 ．

【答案】
【解析】
根据坡度的概念计算，得到答案．解：斜面AB的坡度为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
6．汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸，小李在河岸上点处用测角仪观察河岸上的小树，测得，然后沿河岸走了米到达处，再一次观察小树，测得，则可求出河的宽度为________________米．（参考计算：，，，结果精确到米）．

【答案】
【解析】
过点A作AM⊥GH，设AM＝h，在Rt△ACM中，CM＝，在Rt△ABM中，BM＝AM＝h，再根据BC＝BM－CM，列方程求解即可．解：过点A作AM⊥GH，设AM＝h，
在Rt△ACM中，，
CM＝，
在Rt△ABM中，∠ABH＝45°，BM＝AM＝h，
∵BC＝BM－CM，
∴，
解得：h＝93.9，
故填：93.9．

【点睛】
本题考查三角函数的应用，数形结合是关键．
7．如图，梯形是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），，，，拦水坝的横断面的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：，）

【答案】52.0
【解析】
过点A作于点F，利用特殊角的锐角三角函数值和坡度求出AF、BF、CE的长，把整个梯形分成两个三角形和一个矩形去计算面积．解：如图，过点A作于点F，
，
，
，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴．
故答案是：52.0．

【点睛】
本题考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是掌握利用特殊角的锐角三角函数值解直角三角形的方法．
8．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测得操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为______米．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】13
【解析】
作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°=≈0.75求得AE=40，由AB=57知BE=17，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE=17．由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF=17，从而得BC=EF=30-17=13．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=≈0.75．
∴AE=40，
∵AB=57，
∴BE=17
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=30-17=13．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．
9．在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为________________米．(参考数据：，，精确到米)

【答案】
【解析】
作CG⊥EF、延长GH交AD于点H、作HP⊥AB可得四边形BCHP为矩形，从而知BC=PH=6、BP=CH、∠CHD=∠A=37°，先求出AP= 8，作DQ⊥GH知∠CDQ=∠CEG=30°，求出CQ=2、DQ=2，再求得QH的长，得到CH=QH-CQ，根据AB=AP+PB=AP+CH可得答案．如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，

则四边形BCHP为矩形，
∴BC=PH=6(米)，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，
∴AP=(米)，
过点D作DQ⊥GH于点Q，
∴∠CDQ=∠CEG=30°，
∴CQ=CD=2(米)，DQ=CDcos∠CDQ(米)，
∵QH=(米)，
∴CH=QH-CQ(米)，
则AB=AP+PB=AP+CH(米) ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．文成县珊溪水库素有“温州大水缸”之称，现计划在水库堤坝内侧坡面上建一个水质监测 站，监测站平面结构呈等腰三角形（如图，，底边 所在直线平行于水平 ，且一腰（）垂直于坡面直线 （如图所示），中柱 过底边 中点 立于坡 面直线 上点 处， 及其延长线交坡面直线 于 ， 为一根支撑柱，另外过 的中点 和点 做一条自动取样传送带，直达坡面直线上点 处（方便取到不同深度的水样，点 、、 在一条直线上），测得 米， 米，则__________米（结果保留根号）．

【答案】
【解析】
由CD是直角△ACE斜边上的高，可得，求出AD＝4，则AE＝5，MD＝1.5，延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，则△GHB∽△MDB，根据相似三角形对应边成比例得到，则可设GH＝3a，则BH＝4a．证明△CHG∽△CDE，得出，求出a＝2，在Rt△GHC中，利用勾股定理求出GC＝=，连接BE，根据直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质得出∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，计算tan∠BAC＝tan∠BMD＝，解Rt△ACF，求出CF＝AC•tan∠BAC＝×＝，根据GF＝GC−CF即可得出结论．解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AE⊥BC，
又∵AC⊥EC，
∴，即，
∴AD＝4，AE＝AD＋DE＝4＋1＝5，
∵M为AE中点，
∴ME＝AE＝2.5，MD＝ME−DE＝1.5，
如图，延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，则△GHB∽△MDB，

∴，
设GH＝3a，则BH＝4a，
∵GH∥DE，
∴△CHG∽△CDE，
∴，即，
解得a＝2，
∴GH＝6，BH＝8，HC＝12，
在Rt△GHC中，由勾股定理得GC＝＝=，
连接BE，
∵点M为Rt△ABE斜边的中点，
∴∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝tan∠BMD＝，
在Rt△ACF中，AC＝，
∴CF＝AC•tan∠BAC＝×＝，
∴GF＝GC−CF＝−=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用及分析问题、解决问题的能力，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

二、解答题
11．计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°； (2).
【答案】(1)+；(2).
【解析】
（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
特殊值：sin 30° = ；sin 60° = ；sin 45° = ；cos 30° = ；tan 60° = ；tan 45° = 1(1)原式=-+
= + ；
(2)原式=
=.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．计算：．
【答案】
【解析】
直接代入利用特殊角的三角函数值，进而化简即可得答案．原式

．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13．求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案】（1）1；（2）0；（3）；（4）；（5）2；（6）；（7）；（8）（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

14．计算：sin30°•tan60°+.．
【答案】
【解析】
试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
15．计算：.
【答案】-
【解析】
原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果.
=
=
=- .
16．为了维护国家主权，海军舰队对我国领海例行巡逻．如图，正在执行巡航任务的舰队以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围40海里范围内有暗礁，问舰队继续向正东方向航行是否安全？

【答案】（1）；（2）安全．
【解析】
（1）如图（见解析），先根据方位角的定义可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差即可得；
（2）设海里，分别在和中，解直角三角形建立等式，求出x的值，由此即可得出答案．（1）如图，过点P作于点C，
由题意得：海里，
，
，
；
（2）由垂线段最短可知，若海里，则舰队继续向正东方向航行是安全的，
设海里，
在中，，即，
解得，
在中，，即，
解得，
，
，
解得，
即海里，
，
舰队继续向正东方向航行是安全的．

【点睛】
本题考查了方位角、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），将问题正确转化为求PC的长是解题关键．
17．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，则拉线CE的长为______________m(结果保留根号)．

【答案】
【解析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=（米），
∵DH=1.5，
∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，

答：拉线CE的长约为米，
故答案为：．
【点睛】
本体考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18．知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tan53°≈)

【答案】（20-5）千米.
【解析】
分析：作BD⊥AC，设AD=x，在Rt△ABD中求得BD=x，在Rt△BCD中求得CD=x，由AC=AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=可得答案．
详解：过点B作BD⊥ AC，

依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△ABD中，设AD=x，
∴tan∠ABD=
即tan30°=，
∴BD=x，
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD=
即tan53°=，
∴CD=
∵CD+AD=AC,
∴x+=13，解得，x=
∴BD=12-,
在Rt△BDC中，
∴cos∠CBD=tan60°=,
即：BC=(千米),
故B、C两地的距离为（20-5）千米.
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
19．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°， 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？

【答案】（20+17）cm．
【解析】
过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．

在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，
∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．
在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，
∴BF=AB•sin∠BAD=20cm．
∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，
∴MD=BF，
∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．
20．如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的同一水平线上，，之间的距离约为，现测得，与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）

【答案】66.7cm
【解析】
过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，

设 CH=x，则 AH=CH=x，
BH=CHcot68°=0.4x，
由 AB=49 得 x+0.4x=49，
解得：x=35，
∵BE=4，
∴EF=BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为 CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7(cm)，
答：点E到地面的距离约为 66.7cm.
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用已知角度的三角函数值是解题的关键.
21．某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，）

【答案】假山的高度DE约为70米．
【解析】
过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可．解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，
设DE的长为x米，
在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，
在Rt△ADE中，∠A＝35°，
AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，
tanA＝，
∴tan35°＝≈，
解得：x≈70，
答：假山的高度DE约为70米．
【点睛】
此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．
22．为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

图 1 图2
【答案】（1）AD=18;（2）车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【解析】
（1）在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出AD的长；（2）先考虑作辅助线，过点E作EH⊥AB，垂足为H，利用∠EAH的正弦列式求EH的长即可．
解：（1）在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD==18cm；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，

∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
23．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝（即tan∠DEM＝），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）．

【答案】米
【解析】
过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中可求出BN的长，利用AB=AH-BN计算即可．解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，
∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，
∴EF=10米，DF=米，
∵DH=DF+EC+CN=（+30）米，∠ADH=30°，
∴AH=×DH=（10+）米，
∴AN=AH+EF=（20+）米，
∵∠BCN=45°，
∴CN=BN=20米，
∴AB=AN-BN=，
答：条幅的长度是米．

【点睛】
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）70.7海里；（2）有触礁的危险，理由见解析
【解析】
（1）作PD⊥AB于点D，由PA=100，∠APD=60°，∠BPD=45°知∠A=30°，从而得PD=50，再由BD=PD=50知PB=50≈70.7．
（2）过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，由OE≈56.07＜60即可判断．（1）过点P作PD⊥AB于点D．

依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈70.7．
答：B处距离灯塔P约70.7海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣50．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，
∵∠OBE＝∠PBD＝45°，
∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，
∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PD的长是解题关键．
25．如图，自来水厂A和村庄B在小河PQ的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行2.4km，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．

（1）求BQ长度；
（2）求A、B间的距离（参考数据）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数，可知两角相等，于是得出线段BQ与PQ相等，即可求解；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离．解：（1）∵∠PQB=90°-41°=49°，∠BPQ=90°-24.5°=65.5°，
∴∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ=2.4(km)；
（2）∠AQB=180°-49°-41°=90°，∠PQA=90°-49°=41°，
∴AQ= (km)，
∵BQ=PQ=2.4，
∴AB2=AQ2+BQ2=3.22+2.42=16，
∴AB=4，
答：A、B的距离为4 km．
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．
26．如图，在社会实践活动中，某数学兴趣小组想测量在楼房CD顶上广告牌DE的高度，他们先在点A处测得广告牌顶端E的仰角为60°,底端D的仰角为30°，然后沿AC方向前行20m，到达B点，在B处测得D的仰角为45°（C，D，E三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这广告牌DE的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：，）.

【答案】广告牌的高度为54.6米.
【解析】
由题可知：，，，先得到CD=CB，在三角形ACD中，利用正切列出关于CD的等式并解出，从而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角形ACE中利用正切得到CE的长度，最后用CE-CD即为所求.解：∵


又，

在中，

即

答：广告牌的高度为54.6米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的关键.
27．关公，作为运城乃至山西的一张名片，吸引了来自世界各地的游客，在运城西南公里的常平村(关公故乡)南山上，有一尊巨型关公铜像，高米，象征关公享年岁，底座的高度也有一定寓意．有一位游客，对此产生了兴趣，想测量它的高度，由于游客无法直接到达铜像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量它的高度.如图，代表底座的高，坡顶与底座底部处在同一水平面上，该游客在斜坡底处测得该底座顶端的仰角为，然后他沿着坡度为的斜坡攀行了米，在坡顶处又测得该底座顶端的仰角为．求：

坡顶到地面的距离；
求底座的高度(结果精确到米)．
(参考数据:，
【答案】（1）坡顶到地面的距离为米；（2）底座的高度约为米．
【解析】
（1）如图所示作出辅助线，根据斜坡AP的坡度，设出未知数，由勾股定理求出AP，再列出方程解答即可；
（2）作出辅助线，证明四边形是矩形，得出∠BPD=45°，设，表示出AC，再利用BC、AC表示出tan76°，列出方程求解即可．（1）过点作，垂足为点，
斜坡的坡度为

设，则，由勾股定理，得，
，解得k=2
，
答：坡顶到地面的距离为米．
（2）延长交于点，
，
，
四边形是矩形，，，
，
∴，
由（1）知，
设，则，
，
在中，，即，
解得米，
答：底座的高度约为米．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，根据实际问题抽象为数学模型，并正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
28．（问题探究）
（）如图①，点是正高上的一定点，请在上找一点，使，并说明理由．
（）如图②，点是边长为的正高上的一动点，求的最小值．
（问题解决）
（）如图③，、两地相距，是笔直第沿东西方向向两边延伸的一条铁路．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，请确定中转站\的位置，并求出的长．（结果保留根号）

【答案】（）见解析；（）；（）．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．
解：（）过点作于，点即为所求．
证明：∵为正，，
∴．

（）在中，，
如图，作于，交于，
由（）可知，
∴最小．

（）如图，作于．

在点另一侧作，
作于，交于，点即为所求．
在中，，．
∴．
在中，，
∴，
∴，
．
“点睛”此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．