2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 专题03 平面向量的线性运算（教师版）

专题03平面向量的线性运算

一、单选题
1．已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．，则∥ B．，则⊥
C．，则∥ D．以上说法都不正确
【答案】A
【解析】
由向量的等式关系，可得到两个向量的方向相同，从而得到答案．，则与方向相同，即∥，故选项A正确，选项B错误；
，无法判断和的方向，故选项C错误；
∵选项A正确，故选项D错误
故选：A．
【点睛】
本题考察了向量的知识；求解的关键是熟练掌握向量的性质，从而完成求解．
2．如图，梯形ABCD中，E、F是中位线，设，则则向量可表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，又，，结合各式即可求出答案．∵，
，
又，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及三角形法则的熟练掌握．
3．以下说法错误的是（　 ）
A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量
【答案】C
【解析】
A根据平行向量定义解题；B根据单位向量定义解题；C根据平行向量定义解题；D根据平行向量定义解题．A.零向量与任一非零向量平行，故A.正确；
B. 零向量与单位向量的模不相等, 故B.正确；
C. 平行向量方向相同，平行向量方向可能相同也可能相反，故C错误.；
D. 平行向量一定是共线向量，满足向量共线与平行的定义，故D.正确，
故选C．
【点睛】
本题考查单位向量、平行向量与共线向量等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列各式，其中正确的等式的个数为（ ）
①=c－b ②=a+b ③=－a+b ④++=0
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
画出图形，结合图形利用平面向量加减运算的几何意义进行解答即可．
如图所示：D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点，且，，
，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算，关键是根据题意画出图形，然后结合已知条件及向量的线性运算解答即可．
5．已知点C是线段AB的中点，如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：如图，

A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与的不同．
6．下列命题中，错误命题的个数有（ ）

①如图，若，则；
②已知一个单位向量，设是非零向量，则；
③在中，在边上，在边上，且和相似，若，，，则它们的相似比为或；
④在中，，，边上的高，则，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
根据平行线分线段成比例定理、平面向量的定义、相似三角形的性质、解直角三角形的有关定理和性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．①∵，∴AD∥BE∥CF，故本选项正确；
②得出的是的方向不是单位向量，故本选项错误；
③当△ADE∽△ABC时，则，
当△ADE∽△ACB时，则，
故本选项正确；
④∵，AC＝2，BC边上的高，
∴当△ABC是锐角三角形时，，
∴∠B＝30°，
∴，，
∴BC＝4，∠B＝30°，
当△ABC是钝角三角形时，同理可求BC＝2，∠B＝30°，
故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、平面向量的定义、相似三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握有关定理和性质是解题的关键，注意运用分类讨论的思想．
7．下列判断错误的是（ ）
A．
B．如果 (为非零向量)，那么
C．设为单位向量，那么
D．如果那么或
【答案】D
【解析】
根据单位向量，平行向量以及模的定义知识求解即可．A、0与任何向量的乘积都为零向量，则A正确，
B、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为，为非零向量，所以两向量方向相同，∥，则B正确，
C、单位向量的模为1，则C正确，
D、两个向量的模相等，这两个向量的长度相等，但方向关系不确定，则D不正确
故选择为：D．
【点睛】
本题考查平面向量及其向量的位置关系，关键掌握向量的性质，会识别平行，相反，相同的向量．
8．已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、符合向量的长度及方向，故正确.
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质和计算法则是解题的关键．
9．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴AD＝3DG，
∴＝3＝3，
∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，
∴＝2＝6﹣2，
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形的重心，平面向量，三角形法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数和向量、，恒有
②对于实数、和向量 ，恒有
③若（是实数）时，则有
④若（、是实数，），则有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
根据平面向量的性质依次判断即可.①对于实数和向量、，恒有，正确；
②对于实数、和向量 ，恒有，正确；
③若（是实数）时，则有，错误，当m=0时不成立；
④若（、是实数，），则有，正确；
故选C.
【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．

二、填空题
11．向量在方向上的分量分别则＝_______
【答案】
【解析】
根据向量的分量的概念及向量分解式的写法即可得到答案．∵向量在，方向上的分量分别，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，掌握向量分量的定义及向量分解式的写法是解题的关键．
12．在四边形ABCD中，E是AB边的中点，设，，那么用，表示为_____．
【答案】
【解析】
分析：画出图形，根据平行四边形法则解答即可．
详解：根据平行四边形法则，

，
即=．
故答案为．
点睛：此题结合四边形考查了平面向量，利用平行四边形法则是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为_____．

【答案】+
【解析】
如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．

∵AD＝DE，BD＝CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：+．
【点睛】
本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
14．计算：_________，=_______．
【答案】
【解析】
根据向量的乘法法则、乘法分配律、合并同类项解题即可.；
故答案为：；
【点睛】
本题考查有关向量的线性运算，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
15．如果向量、、之间满足关系式，那么_________（用向量、表示）
【答案】
【解析】
根据向量加减法则求解即可
【点睛】
本题主要考查了向量加减中去括号的相关问题，熟练掌握如何去括号是解题关键
16．如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设，，那么向量用向量、表示为_________．

【答案】+.∵AB∥CD，
∴
∴ED=2AE，
∵，
∴，
∴==+.
考点：1.平面向量；2.平行线的性质
17．如图，在□ABCD中，E是BC上的一点，且EC=2BE，联结DE，若，，则关于、的分解式是_________．

【答案】
【解析】
因为,AB∥DC,所以,
又因为EC=2BE,所以
因为,
所以,
故答案为.
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2 ，若，
用、表示=_____．

【答案】
【解析】
过点A作AE⊥DC，利用向量知识解题.解：过点A作AE⊥DC于E，
∵AE⊥DC，BC⊥DC，
∴AE∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECB是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC＝4，
∴DE===2，
∴AB=EC=2=DC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，

故答案为.
【点睛】
向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.
19．如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量表示是________．

【答案】
【解析】
分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可．
详解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，FC=DC，∴EF=（AD+BC）．∵BC=3AD，∴EF=（AD+3AD）=2AD，由三角形法则得，=+=2+===2+．
故答案为2+．
点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．
20．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________．

【答案】
【解析】
过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H

四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形


，






若，
则

故答案为：．

【点睛】
本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．三、解答题
21．已知：如图，中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1．
(1)设，先化简,再求作： (直接作在图中)；
(2)用 (x、y为实数)的形式表示．

【答案】（1），作图见解析；（2）．
【解析】
（1）根据平面向量加减混合计算的顺序和法则，先化简,再作图；
（2）首先求出，再根据AD：CD=2：1，求出，根据计算即可解决问题解：（1）；
如图，延长CB到点F，使BF=BC，连接FA，即为所求．

（2）∵，AD：DC=2：1，
∴AD=AC，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．已知：如图， 中，点是边上一点，且．
（1）设先化简，再求作：（直接作在右图中）；
（2）用为实数的形式表示．

【答案】（1），图见详解；（2）
【解析】
（1）先化简，再利用三角形法则解决问题即可；
（2）首先求出，再根据AD：CD＝2：1，求出，根据，计算即可解决问题．解：（1）
＝
＝；
如图，延长CB到F，使得BF＝BC，连接FA，即为所求：

（2）∵，AD：CD＝2：1，
∴ AD＝AC，
∴ ＝，
∵ ，
∴．
【点睛】
本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．
（1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．

【答案】（1）﹣，﹣﹣；（2）见解析
【解析】
（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可．
（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC，
∴＝＝＝﹣，
＝＝﹣﹣．
故答案为：﹣，﹣﹣．
（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．

【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．如图，是的边上一点，，点、、分别是、、的中点，设,．

（1）试用、的线形组合表示；
（2）在图中画出在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）图见解析．
【解析】
（1）利用三角形的中位线定理以及三角形法则解答即可；
（2）利用平行四边形的法则作图即可．解：（1）∵AE＝ED，BF＝DF，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴＝，
∵BF＝DF，BG＝GC，
∴FG∥CD，FG＝DC=AC，
∴＝，
∵=+，
∴．
（2）如图所示，图中，即为所求．

【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、三角形法则、平行四边形法则以及常见作图等知识，熟练掌握以上基本知识是解题的关键．
25．如图，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，设．表示：．

【答案】；；；
【解析】
由BD：DC=2：5可得出的值；由平行线分线段成比例定理可得出的值；由BD：DC=2：5可得BD：BC=2：7，可求出的值，点睛向量加法法则可求出的值；平行线分线段成比例定理可得的值．∵BD：DC=2：5，
∴，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，
∵DF∥AB，
∴，
∴，
∵BD：BC=2：7，
∴，
∴，
∵DE//AC，
∴=，
∴．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理及向量的加法，熟练掌握向量的加法法则是解题关键．
26．如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．

【答案】
【解析】
根据三角形法则和平行线分线段成比例来求．解：∵
∴
∴DE∥BC
∴
∵
∴；
【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF的长；
（2）设，，试用，表示向量．

【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）连接BD交EF于点O，用平行线分线段成比例定理分别求出EO，FO的长；
（2）根据题意可得，=，由三角形法则计算向量.（1）连接BD交EF于点O．
∵EO∥AD，AD=3，AE：EB=2：1
∴，∴EO=1，
同理OF=，
∴EF=．
（2）=+，
=+
=+

28．如图，已知，点、、、分别在和上，．

（1）求的值；
（2）若，，用向量与表示．
【答案】（1）；（2）=.
【解析】
（1）根据平行线的性质可得，结合，即可得出答案；（2）先表示出CB，结合（1）的结论即可得出AG．（1）∵
∴.
∵，
∴
∴.
（2）∵，，
∴.
∵，
∴=.
【点睛】
此题考查平面向量，解题关键在于掌握运算法则
29．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）
⑴作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑶作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑷作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值。


【答案】⑴ ；⑵ ；⑶；⑷.
【解析】
（1）根据图形，即可求得f（2）的值；
（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；
（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；
（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；
（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，
∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，
∴f（n）=6n+2；
（3）f（2×3）=34；
（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62
∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．
【点睛】
此题考查了向量的知识．注意解此题的关键是找到规律：f（n）=6n+2与f（m×n）=2（m+n）+4mn．