2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 期末模拟测试卷01（教师版）

2020-2021学年九年级数学上学期期末模拟测试卷01
数学·全解全析


一、单选题
1．（2018·东营市实验中学中考模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=，
∴cosA===，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=.
故选A.
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.
2．（2020·上海九年级月考）有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；
综上可得：①③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，注意黄金分割分得的较长边的长=×原线段长度．
3．（2018·上海中考模拟）如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是（　　）

A． y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2+2
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+2
【答案】D
【解析】
分析：过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
详解：
如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，

∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=2，
∴OB=AB=2×=2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线解析式是y=（x﹣2）2+2．
故选D．
点睛：考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，解此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
4．（2020·上海九年级期末）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】
解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；
、符合向量的长度及方向，正确；
、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
5．（2017·上海九年级一模）如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】B
【解析】
试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴=，
∴=，∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，
∵cosA==，
∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，
故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
6．（2018·上海金山·中考模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（　　）
A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10
【答案】D
【解析】
延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，
∵D是AB中点，∴CD=，
∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ ，
故选D.

【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.

二、填空题
7．（2018·上海中考模拟）已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则=_____．
【答案】
【解析】
设则所以,故答案为:.
8．（2020·上海九年级二模）已知点（，y1），（，y2），（2，y3）在函数（）的图像上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是________．
【答案】
【解析】
先根据二次函数的解析式计算出对称轴，然后结合图象根据点与对称轴距离的远近判断函数的大小即可．
【详解】
二次函数的对称轴为 ，
∵，
∴二次函数开口方向向上，且距离对称轴越远函数值越大．
∵-1距1有2个单位长度，距离1有个单位长度，2距离1有1个单位长度， ，
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
9．（2017·上海宋庆龄学校）如图，AD//EF//GH//PQ//BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF长为____________

【答案】4
【解析】
过点D作AB的平行线，把线段分在所得的平行四边形和三角形两部分中，利用平行线所夹线段成比例的性质可以求解．
【详解】
解：过点D作DM∥AB，交BC于点M，交EF、GH、PQ分别于点N、K、O，

∵AD∥BC，AB∥DM，
∴ABMD为平行四边形，
又AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，
同理得到四边形AEND、AGKD、APOD都为平行四边形，
∴AD＝BM＝EN＝PO＝2，
∴CM＝8，
∵EF∥BC， AE＝EG＝GP＝PB，
∴，
∴NF＝2，
∴EF＝EN＋NF＝4，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，属于比较基础的题目，合理作出辅助线求解即可．
10．（2019·上海市嘉定区怀少学校九年级月考）如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，点E在边BA的延长线上，AE=AB，，那么______________．

【答案】
【解析】
根据中点定义可得BD＝BC，然后表示出，，再利用向量的三角形法则解答即可．
【详解】
解：∵D是边BC的中点，
∴BD＝BC，
∵，
∴，
∵AE＝AB，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题是对平面向量的考查，向量问题的求解要从向量的方向与模两个方面考虑，主要运算法则是平行四边形法则与三角形法则，本题想法把已知与所求向量转化为△BDE中是解题的关键．
11．（2016·上海中考模拟）在直角三角形ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝3(a＞3)若，则a＝________．

【答案】
【详解】
设DE＝x，
∵
∴
在中

解得：
在中

.
12．（2020·湖北九年级其他模拟）已知函数（为实数）．对于任意正实数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围为___．
【答案】
【解析】
只求m的一个值即可．当时，抛物线对称轴为直线，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据题意，得，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可．
【详解】
解:∵，
∴抛物线开口向上，
对称轴为
因此,对于任给的正实数，只在，都有随的增大而增大,
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的增减性等知识点，主要考查数形结合的数学思想．
13．（2020·山西九年级二模）汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸，小李在河岸上点处用测角仪观察河岸上的小树，测得，然后沿河岸走了米到达处，再一次观察小树，测得，则可求出河的宽度为________________米．（参考计算：，，，结果精确到米）．

【答案】
【解析】
过点A作AM⊥GH，设AM＝h，在Rt△ACM中，CM＝，在Rt△ABM中，BM＝AM＝h，再根据BC＝BM－CM，列方程求解即可．
【详解】
解：过点A作AM⊥GH，设AM＝h，
在Rt△ACM中，，
CM＝，
在Rt△ABM中，∠ABH＝45°，BM＝AM＝h，
∵BC＝BM－CM，
∴，
解得：h＝93.9，
故填：93.9．

【点睛】
本题考查三角函数的应用，数形结合是关键．
14．（2020·全国九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝_____．

【答案】
【解析】
设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得；
【详解】
解：如图，DE与BG交于点O，
∵正方形DEFG，
∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90，GF＝DE＝EF，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴，
∵∠DOG＝∠EOB，
∴△DOG∽△EOB∽△FGB，
∴；
∴tan∠DGB＝；
故答案为：；

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
15．（2019·福建九年级期中）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么的正切值为___．

【答案】
【解析】
【解析】
延长GF与CD交于点D，过点E作交DF于点M,设正方形的边长为，则解直角三角形可得,根据正切的定义即可求得的正切值
【详解】
延长GF与CD交于点D，过点E作交DF于点M,

设正方形的边长为，则
,






故答案为：
【点睛】
考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.
16．（2017·上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．
【答案】
【解析】
【详解】
解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE
∴∠OEC=∠OCE=30°
∴∠BCE=90°，
∴△BEC是直角三角形
∴=cos30°=，
∴λ6=.
考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数
17．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________

【答案】5
【解析】
根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．
【详解】
解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴
∴
∴，即①；
∵CE是∠ACB的外角平分线，
∴
∴，即②；
①+②，得．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．
18．（2019·北京市第十二中学九年级期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．

【答案】2或
【解析】
设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】
设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．

三、解答题
19．（2018·上海中考模拟）计算：sin30°•tan60°+.．
【答案】
【解析】
试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
20．（2020·上海九年级一模）已知二次函数.
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；
（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.
【答案】（1），B（2，－5）；（2）6.
【解析】
（1）利用配方法把将二次函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；
（2）求出C点，A点坐标，则四边形OABC的面积可求出．
【详解】
解：（1），
该函数图象顶点B坐标为（2，-5）；
（2）如图，

令y=0，x=-1，
∴C（0，-1），
∵B（2，-5），
∴A（2，0），
∴四边形OABC的面积 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．
21．（2019·上海九年级一模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

【答案】米，米．
【解析】
过点作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，设，求得，，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】

解：过点作于，
则四边形是矩形，
∴，
设，
∴，
∴，，
在中，，，
，
解得：，
∴米，米，
答：和的长分别为1.25米，0.35米．
故答案为米，米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（2021·中国科技大学附属中学九年级月考）已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上(点E不与点A、B重合)，点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图2，当∠EDF=45°时，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出结论．
【详解】
（1）连接AD，如图1所示：

在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是边BC的中点，
∴ADBC=BD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠B=∠CAD．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF；
（2）∵∠BDF=∠BDE+∠EDF，∠BDF=∠C+∠CFD，
∴∠BDE+∠EDF=∠C+∠CFD．
又∵∠C=∠EDF=45°，
∴∠BDE=∠CFD，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
∴，
又∵BD=CD，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
23．（2018·上海中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=2，以点C为圆心，CA长为半径的⊙C与边AB交于点D，以点B为圆心，BD长为半径的⊙B与⊙C另一个交点为点E．
（1）求AD的长；
（2）求DE的长．

【答案】（1）2；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）过点作，垂足为点，得.运用勾股定理求出AB=5，再通过解直角三角形得到AH=1，从而得解；
（2）运用平行线分线段成比例即可求解.
试题解析：（1）过点作，垂足为点，

∵经过圆心，
∴ ，
在Rt△中，，，
∵， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）设与的交点为，
由题意，得, ，

∴，
∴∥，
∴ ，
∵,，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ .
24．（2018·上海金山·中考模拟）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．

【答案】（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）
【解析】
试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；
（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，
∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），
∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），
∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P（1，4）；
（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，
∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，
∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；
（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，
CM=,PM=4，BC=，
∴或 ，
∴CQ=或4，
∴Q1(0，),Q2（0，-1）.

25．（2018·上海中考模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．

【答案】（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE=，
∴x=，
∴AB=x+2=．