2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 专题02 相似三角形（教师版）

专题02相似三角形

一、单选题
1．如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A. ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠D
C． D．且∠A=∠D
【答案】B
【解析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．解：、，，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、且，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝2，若点O为△ABC三条高的交点，则OA的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设BC边上的高为AD，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD∽△BAD，可得BD:AD=OD:BD，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求解OD的长．解：如图，设BC边上的高为AD，
　
∵点O为△ABC三条高的交点，
∴AD⊥BC，BO⊥AC，
∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠OBD=∠CAD，
∵AB=AC，∴D为BC的中点，∠BAD=∠CAD，
∴∠OBD=∠BAD，
∴△OBD∽△BAD，∴BD:AD=OD:BD ，
∵BC=，∴BD=，
在Rt△ABD中，AB=5，∴AD=，
∴，解得OD= ，
∴OA=AD−OD=，
故选A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．
4．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）

A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【答案】A
【解析】
在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理、平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出△ABE的周长是解题关键．
5．如图，在中，为边上的一点，为边上的一点，连接，，交于点，若为的中点，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
过点F作FG//BC交AE于点G，证明可得，再由可证得，故可得结论．解：过点F作FG//BC交AE于点G

∵D是BF的中点，
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
6．如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )

A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
【答案】C
【解析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．
7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，

①，∠D=35°


，
故①是正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述①③④是正确的，正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是（　　）

A．6﹣2 B．3 C．2 D．6+2
【答案】C
【解析】
连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝6，
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝3，
∴，
∴FE＝2，
故选：C．

【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．
9．如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
过G作GF∥AB，交CD于F，得到△CFG∽△CDB，再根据AAS得出△ADE△GFE，然后根据相似三角形和全等三角形的性质即可得出答案解：过G作GF∥AB，交CD于F，
∴△CFG∽△CDB，
∴BG：CG=DF：FC
∵G是BC的中点，
∴BG=CG
∴DF=FC
∵GF∥AB，
∴∠DAG=∠FGA
∵E是AG的中点，
∴AE=GE
∵∠DEA=∠FEG
∴△DAE≌△FEG
∴DE=EF
∴DF=2DE=2EF
∴FC=2DE
∴EC=3DE
∴
故选：B

【点睛】
题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，关键是根据题意做出辅助线，构造相应的三角形．
10．在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，得出△EDF∽△CBF，由相似三角形的性质即可得出答案．解：过作，交于，交于，

四边形为平行四边形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．
11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH，给出下列结论：①AF⊥DE； ②DG=； ③HD∥BG； ④△ABG∽△DHF，其中正确的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角性质得∠DGF=90,①成立，利用勾股定理求AF，利用面积，DG=②错，再证∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可断定△ABG∽△DHF，④正确，通过AB≠AG得到∠ABG≠∠AGB，则∠AGB≠∠DHF，③错．四边形ABCD为正方形，∠ADC=∠BCD=90º，AD=CD，
E、F为BC、CD中点，DF=EC=2,
∴△ADF≌△DCE(SAS ),
∠1=∠3，∠2+∠3=90º，∠1+∠2=90º,∠ADG=90º,
∴AF⊥DE, ①成立，
AD =4，DF=CD =2，AF=
∴DG=,故②错误，
H为AF中点，AH=HF=AF=，
∴∠HDF=∠HFD，由AB∥CD，∠HDF=∠HFD=∠BAG，
∵AG=，AB=4，

，△ABG∽△DHF，故④正确，
∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG≠∠AGB，
∴∠AGB≠∠DHF，HD与BG不平行，③错误

【点睛】
本题考查三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的高，面积，直角三角形的斜边中线，知识较多有一定难度，解题时注意利用线段关系减计算相应的线段长．
12．如图，平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；⑧；④；其中一定正确的是（ ）

A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后根据相似三角形的性质、已知条件和平行四边形的性质即可得出，进而可判断①；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可判断②；由△和等高即可求出的面积，于是可判断结论③；假设，利用反证法即可得出矛盾，于是可判断④，进而可得答案．解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，所以结论①正确；
②∵，，
∴，
∴，所以结论②正确；
③∵△和等高，且，
∴，
∴，所以结论③错误；
④假设，
∴，即，
∵，
∴和共线，
但点是的中点，则与不共线，
∴假设不成立，即和△不相似，所以结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及反证法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．

二、填空题
13．在四边形中，，，，，，点在上，连接，，若与相似，则的长为___________．
【答案】或2或9
【解析】
先根据平行线的性质可得，再分和两种情况，然后分别利用相似三角形的性质即可得．设，则，
如图，，
，
因此，分以下两种情况：
（1）若，
则，即，
解得或，
经检验，或均是所列方程的根，
则此时或；
（2）若，
则，即，
解得，
经检验，是所列方程的根，
则此时；
综上，BP的长为或2或9，
故答案为：或2或9．

【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、平行线的性质、分式方程的几何应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．如图正方形中，是边的中点，与相交于点，正方形的边长，则阴影部分面积为__________．

【答案】
【解析】
正方形中，是边的中点，证明再证明：利用相似三角形的性质证明：再求解从而可得答案．解： 正方形中，是边的中点，






故答案为：
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
15．的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【解析】
先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
16．如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB：③∠CAP=∠BAC；④．能确定△APC和△ACB相似的是___________（只填写序号）．

【答案】①②④
【解析】
①和②根据两组角相等证明相似，④根据两组对应边成比例且夹角相等证明相似．解：①∵，，∴；
②∵，，∴；
③不可以证明；
④∵，，∴．
故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．
17．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．

【答案】或
【解析】
分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；
详解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，

∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．

∵△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点EF，若AE=8，则EF•ED的值为_______．

【答案】64．
【解析】
根据正方对角线平分一组对角和旋转图形前后可证；在利用两角相等证的两三角形相似；利用相似图形对应线段成比例即可的解．在正方形中，．
∵绕点 逆时针旋转到，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：64．
【点睛】
本题主要考查图形的旋转、相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此类问题的关键．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，在△ABC中，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=CE时，EP+BP=20，则BC的长为________．

【答案】10
【解析】
延长BQ交射线EF于点M，先证明△BCQ∽△MEQ，然后可得=，根据EM=20，即可得出答案．解：如图，延长BQ交射线EF于点M，

∵E，F是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠BME=∠MBC，
∵BQ平分∠CBP，
∴∠PBM=∠MBC，
∴∠BME=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EM=20，
∵CQ=CE，
∴，
∵EF∥BC，
∴△BCQ∽△MEQ，
∴=，
∵EM=20，
∴，即BC=10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，判定△BCQ∽△MEQ是解题关键．
20．如图，在正方形ABCD中，以CD为底边作等腰，使得点E在正方形ABCD内部，且，连接BD交CE于点F．过点C作于点G，过点G作于点H，连接HF．若，，则四边形AEFH的面积为____．

【答案】
【解析】
作于K，FM⊥BC于M，FN⊥CD于N．根据S四边形AHFE=S△ADE+S△EDC-S△FHD-S△FDC计算，想办法求出DH、FN、FM、EK即可．解：作于K，于M，于N．如下图所示：

∵CG⊥DE于G，
∴∠CGE＝90°，
∴CG＝，
在Rt△CDG中，CD＝，
∵，
∴EK＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=，∠FBM＝45°，
∴FM＝BM，设FM＝BM＝x，则CM＝，
∵△ECK∽△CFM，
，代入数据：
∴，∴，
∵△DHG∽△EKD，，代入数据：
，∴DH＝，
∴S四边形AHFE＝S△ADE+S△EDC﹣S△FHD﹣S△FDC

故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题
21．如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且．

求证：（1）∽；
（2）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）只要证明，又∠BAC=∠GAE，即可证明△ABC∽△AGE；
（2）只要证明△ADG∽△EDA，可得，推出AD2=DE•DG即可证明；证明：（1）∵，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∴，∵，
∴；
（2）∵，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．梯形中，，对角线，点是边上一个点，交于点,交于点交延长线于点，且
（1）求证：
（2）求证：

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）利用三角形外角性质，证明，再由，得到，应用三角形内角和定理，证明，则问题可证；
（2）根据证明，得到，可证明，再由，得到，得到，则问题可证．（1）证明：∵

∴
∵
∴
由三角形内角和，
∴
∵
∴
∴
（2）证明：由（1）
∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定以及三角形内角和的性质，解答关键是根据题意找到相似三角形并证明．
23．已知，如图，
求证：（1）（2）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由已知可证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论；
（2）观察所证结论，考虑证明△ADB和△AEC相似，利用已知比，公共角证明相似，得出结论．解：（1）在△ADE和△ABC中，

（2）在△ADB和△AEC中，

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知比证明相似三角形，利用相似三角形的性质得比例．
24．如图，中，、分别为上两点，满足，为的中点，且．
（1）求证：；
（2）当和相似的时候，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据条件证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形对应边成比例得到结论；
（2）根据相似三角形对应角相等得到∠A=∠CBD，利用外角和定理证明∠BDC=∠ABC，结合（1）中的结论可以证明∠ABC=∠BEC，从而证得BC=CE．（1）延长PO交AC于点H，则PH⊥AC，
∵∠A+∠ABD+∠ACE=90°，
∴在△ABC中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴BD⊥CE，
∵P为BE的中点，
∴BP=OP，
∴∠BOP=∠ABD，
∵∠BOP+∠POE=∠ACE+∠COH=90°，且∠POE=∠COH，
∴∠BOP=∠ACE=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即；

（2）∵∠A+∠ABD=∠BDC，
∴∠A≠∠BDC，
∵，
∴∠A=∠CBD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠CBD+∠ABD=∠ABC，
∴∠BDC=∠ABC，
∵∠ACE=∠ABD，
∴∠BEC=∠BDC，
∴∠ABC=∠BEC，
∴BC=CE．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
25．如图，在中，，，，为的中点；在上有一点，直线和直线交于点，．
（1）当在的延长线上时，记，试求关于的解析式，并求出的取值范围．
（2）当取什么值的时候，和相似？

【答案】（1）；（2）当或时，和相似．
【解析】
（1）延长MP至R，连接CR，使RC∥AB，根据题意可证明≌(AAS)，再由全等三角形对应边相等的性质，解得RC=BQ=y，根据平行判定∽，由相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）分两种情况讨论，（i）当点Q在AB延长线上时或（ii）当点Q在BA延长线上时，根据AA及相似三角形的传递性，分别判定∽，或△ABC∽△MPC，最后根据相似三角形对应边成比例性质解题即可．（1）如图，延长MP至R，连接CR，使RC∥AB

∵M为BC中点，
∴≌(AAS)
∴RC=BQ=y，
令∠ACB=，则∠RCM=∠QBM=90°+，
∴∠PCR=90°
∵RC//AB，
∴∽
∴ 即，整理得
（2）（i）当点Q在AB延长线上时
因为∠BMQ=∠CMP，∠QBM>90°，
∴∠QBM=∠CPM，∠Q=，
因为∠ABC=∠APQ，
∴∽，
∴，即
所以，解得
（ii）当点Q在BA延长线上时
若和相似，则∠ACB=∠Q，
所以∠QBM=∠CPM=∠APQ，
∴△ABC∽△MBQ∽△APQ∽△MPC
∴△ABC∽△MPC
所以，即，所以
综上所述，当或时，和相似．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
26．如图，梯形ABCD中，AD//BC，，且，．点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E、交边DC于点N，联结EF．
（1）当时，求CF的长；
（2）连接AC，求证：
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）作于H，结合题意，通过证明AHCD为平行四边形，得，；结合，推得是直角等腰三角形，，再通过证明，利用相似比计算即可得到答案；
（2）连接AC，通过证明和，求得；利用，得到；再通过三角形内角和及，得到，从而推导得，即可完成解题；
（3）根据，且，得，从而得到，再根据相似比以及直角中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．（1）作于H

∴
∵
∴
∵
∴AHCD为平行四边形
∴，
∵
∴
∴是等腰三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
即
∴；
（2）连接AC，如图：

∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵，且
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F
∴
∴点M在点H和点C之间，即
∴．
【点睛】
本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．