2020年广东深圳市中考数学一轮复习 三角形补充练习解析版

2020年深圳市中考数学一轮复习之三角形补充练习解析版
一、选择题
1.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（    ）
A. 2cm，3cm，4cm         B. 1cm，2cm，3cm         C. 3cm，4cm，5cm         D. 4cm，5cm，6cm
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）
A. 2 ， 2 ， 4                     B. 5 ， 6 ，12                      C. 5 ， 7 ， 2                      D. 6 ， 8 ， 10
3.三角形的内角和等于（    ）
A. 90°                                  B. 180°                                 C. 270°                                  D. 360°
4.下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是（    ）
A. ①②③④                                 B. ①③④                                C. ①③                                 D. ①
5.如图，在 ΔABC 中， AB=2 ， BC=3.6 ， ∠B=60∘ ，将 ΔABC 绕点 A 顺时针旋转度得到 ΔADE ，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（   ）

A. 1.6                                         B. 1.8                                         C. 2                                         D. 2.6
6.如图，在 ΔABC 中 AC=BC ，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD=AE .连接 DE ，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若 ∠C=40∘ ，则 ∠GAD 的度数为（    ）

A. 40∘                                       B. 45∘                                      C. 55∘                                       D. 70∘
7.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(      )

A. 100cm2                             B. 150cm2                             C. 170cm2                             D. 200cm2
8.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（  ）
A. 7                                           B. 8                                           C. 9                                           D. 10
9.如图，在△ABC中，∠ACB为钝角。用直尺和圆规在边AB上确定一点D。使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（   ）
A.                                      B.  
C.                                          D. 
10.如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC＝90° ，一个三角尺的直角顶点与 BC 边的中点 O 重合，且两条直角边分别经过点 A 和点 B ，将三角尺绕点 O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与 AB ， AC 分别交于点 E ， F 时，下列结论中错误的是（  ）

A. AE＋AF=AC                                                  B. ∠BEO＋∠OFC=180°
C. OE+OF=22BC                                         D. S四边形AEOF=12SΔABC
11.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 12 AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（        ）

A. PA=PB                         B. OA=OB                         C. OP=OF                         D. PO⊥AB
12.如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90° ，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 D,E 两点，作直线 DE 交 AB 于点 F ，交 BC 于点 G ，连结 CF ．若 AC＝3,CG＝2 ，则 CF 的长为（   ）

A. 52                                         B. 3                                          C. 2                                         D. 72
13.如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（    ）

A. 40°                                       B. 45°                                       C. 50°                                       D. 60°
14.如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD  ，垂足为 F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（      ）

A. 35°                                       B. 40°                                       C. 45°                                       D. 50°
15.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(     )
A. 锐角三角形                       B. 直角三角形                       C. 钝角三角形                       D. 等腰三角形
二、填空题
16.若实数 m、n 满足 |m﹣3|+n−4＝0 ，且 m、n 恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为________.
17.如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于________cm.

18.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是________.

19.如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=5 ，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 sin∠EFC 的值为________.

20.把两个同样大小含 45° 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A ，且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上．若 AB=2 ，则 CD= ________．

21.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.

22.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若 AP=6 ， BP=8 ， CP=10 ．则 S△ABP+S△BPC ＝________．

23.如图，在 RtΔABC 中， ∠ABC=90°,BC=3,D 为斜边 AC 的中点，连接 BD ，点 F 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合），过点 B 作 BE⊥BD 交 DF 延长线交于点 E ，连接 CE ，下列结论：①若 BF=CF ，则 CE2+AD2=DE2 ；②若 ∠BDE=∠BAC, AB=4 ，则 CE=158 ；③ ΔABD 和 ΔCBE 一定相似；④若 ∠A=30°,∠BCE=90° ，则 DE=21 ．其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号）

24.如图所示，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90° ， CM 是斜边 AB 上的中线， E、F 分别为 MB、BC 的中点，若 EF=1 ，则 AB= ________．

25.如图，将 RtΔABC 的斜边AB绕点A顺时针旋转 α(0°<α<90°) 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 β(0°<β<90°) 得到AF，连结EF.若 AB=3 ， AC=2 ，且 α+β=∠B ，则 EF= ________.

三、解答题
26.如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF.求证：∠ABC=∠DEF.

27.如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.

28.如图1，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠B=30° ，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且 PC
（1）找出与 ∠AMP 相等的角，并说明理由.
（2）如图2， CP=12BC ，求 ADBC 的值.
（3）在（2）的条件下，若 MD=133 ，求线段AB的长.
29.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF.

（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由.
30.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE.

（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出 CEAB 的值.
31.如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E.

（1）求证：∠E＝ 12 ∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 S△ADES△ABC 的值.
32.如图，在 ΔABC 中， AB=BC ， AD⊥BC 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ， AD 与 BE 交于点 F ， BH⊥AB 于点 B ，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H ．

（1）如图①所示，若 ∠ABC=30∘ ，求证： DF+BH=33BD ；
（2）如图②所示，若 ∠ABC=45∘ ，如图③所示，若 ∠ABC=60∘ （点 M 与点 D 重合），猜想线段 DF 、 BH 与 BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
33.在 ΔABC 中， ∠BAC=90° ， AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ．

（1）如图1，点 M ， N 分别在 AD ， AB 上，且 ∠BMN=90° ，当 ∠AMN=30° ， AB=2 时，求线段 AM 的长；
（2）如图2，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 ∠EDF=90° ，求证： BE=AF ；
（3）如图3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且 ∠BMN=90° ，求证： AB+AN=2AM ．
34.在等腰三角形 ΔABC 中， AB=AC ，作 CM⊥AB 交AB于点M ， BN⊥AC 交AC于点N ．

（1）在图1中，求证： ΔBMC≅ΔCNB ；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P ， 过P作 PE//AB 交CM于点E ， 作 PF//AC 交BN于点F ， 求证： PE+PF=BM ；
（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作 PE//AB 交CM的延长线于点E ， 作 PF//AC 交NB的延长线于点F ， 求证： AM·PF+OM·BN=AM·PE ．      
35.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度 α 得到△AED ， 点B、C的对应点分别是E、D.
    
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若 α =60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

答案
一、选择题
1.解：A. 2+3>4 ，能构成三角形，不合题意；
B. 1+2=3 ，不能构成三角形，符合题意；
C. 4+3>5 ，能构成三角形，不合题意；
D. 4+5>6 ，能构成三角形，不合题意。
故答案为：B。
2.解：A、 ∵2+2=4 ， ∴2 ， 2 ， 4 不能组成三角形，A不符合题意；
B、 ∵5+6<12 ， ∴5 ， 6 ， 12 不能组成三角形，B不符合题意；
C、 ∵5+2=7 ， ∴5 ， 7 ， 2 不能组成三角形，C不符合题意；
D、 ∵6+8>10 ， ∴6 ， 8 ， 10 能组成三角形，D符合题意。
故答案为：D。
3.解：三角形的内角和等于180度。
故答案为：B。
4.解：①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题。
故答案为：C。
5.由旋转的性质可知， AD=AB ，
∵ ∠B=60∘ ， AD=AB ，
∴ ΔADB 为等边三角形，
∴ BD=AB=2 ，
∴ CD=CB−BD=1.6 ，
故答案为：A ．
6.解： ∵AC=CB ， ∠C=40∘ ，
∴∠BAC=∠B=12(180∘−40∘)=70∘ ，
∵AD=AE ，
∴∠ADE=∠AED=12(180∘−70∘)=55∘ ，
∵GH//DE ，
∴∠GAD=∠ADE=55∘ 。
故答案为：C。
7.解：设AF＝x，则AC＝3x，FC=2x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ EFBC=AFAC=13 ，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 ， 即302＝(3x)2+(6x)2 ，
解得，x＝2 5 ，
∴AC＝6 5 ，BC＝12 5 ，
∴剩余部分的面积＝ 12 ×12 5 ×6 5 ﹣4 5 ×4 5 ＝100(cm2)。
故答案为：A。
8.设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
 三角形的周长为1+4+4=9．
故答案为：C.
9.解：∵∠ADC为△CDB的一个外角
∴∠ADC=∠DCB+∠B
∵∠ADC=2∠B
∴∠B=∠DCB
根据题意，作出线段BC的垂直平分线即可。
故答案为：B。
10.连接AO，如图所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
{∠EOA＝∠FOCOA＝OC∠EAO＝∠FCO ，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A符合题意；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B符合题意；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC ，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= 12 S△ABC ， 选项D符合题意．
故答案为：C．
11. ∵ 由作图可知，EF垂直平分AB，
∴PA=PB ，故A选项不符合题意；
OA=OB ，故B选项不符合题意；
OE=OF ，故C选项符合题意；
PO⊥AB ，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
12.解：由作法得 GF 垂直平分 BC ，
∴FB＝FC ， CG＝BG＝2 ， FG⊥BC
∵∠ACB＝90° ，
∴FG//AC ，
∴BF＝CF ，
∴CF 为斜边 AB 上的中线，
∵AB＝32+42＝5 ，
∴CF＝12AB＝52 ．
故答案为： A ．
13.解：由作法可知：
CG⊥AB
∵AC=BC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40°
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°
∴∠BCG=12∠ACB=12×100°=50°
故答案为：C
14.
∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD= 12 ∠ABC= 35°2 ，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，
∴AF=EF，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故答案为：C．
15.如图所示，

AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
二、填空题
16.解： ∵|m﹣3|+n−4＝0 ，
∴ m﹣3=0，n−4=0 ，
∴m＝3，n＝4 ，
①当 m、n 是直角边时，
则该直角三角形的斜边 =32+42=5 ，
②当 n＝4 是斜边时，则斜边为 4 ，
故答案为 5 或 4 .
17.解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝ 12 AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝ 12 AB＝3.5cm，ED＝ 12 BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm。
故答案为：10。
18.解：由作图过程可知BD=BA，
∵∠B=40°，
∴∠BDA=∠BAD= 12 (180°-∠B)=70°，
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°。
故答案为34°。
19.解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴ AD=BC=5 ， AB=CD=3 ，
∵矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，
∴ AF=AD=5 ， EF=DE ，
在 Rt△ABF 中，∵ BF=AF2−AB2=4 ，
∴ CF=BC−BF=5−4=1 ，
设 CE=x ，则 DE=EF=3−x
在 Rt△ECF 中，∵ CE2+FC2=EF2 ，
∴ x2+12=(3−x)2 ，解得 x=43 ，
∴ EF=3−x=53 ，
∴ sin∠EFC=CEEF=45。
故答案为： 45。
20.如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F ，

在 RtΔABC 中， ∠B=45° ，
∴BC=2AB=22 ， BF=AF=22AB=2 ，
∵ 两个同样大小的含 45° 角的三角尺，
∴AD=BC=22 ，
在 RtΔADF 中，根据勾股定理得， DF=AD2−AF2=6 ，
∴CD=BF+DF−BC=2+6−22=6−2 ，
故答案为： 6−2 ．
21.过点A作AH⊥DE，垂足为H，

∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE= AD2+AE2=62 ，∠HAE= 12 ∠DAE=45°，
∴AH= 12 DE=3 2 ，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF= AHcos∠HAF=3232=26 ，
∴CF=AC-AF= 10−26 ，
故答案为： 10−26 .
22.解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，

根据旋转的性质可知，
旋转角 ∠PBP′=∠CAB=60° ， BP=BP′ ，
∴△BPP′为等边三角形，
∴ BP′=BP=8=PP′ ；
由旋转的性质可知， AP′=PC=10 ，
在△BPP′中， PP′=8 ， AP=6 ，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴ S△ABP+S△BPC=S四边形AP′BP=S△BP′B+S△AP′P=34BP2+12×PP×AP=24+163
故答案为： 24+163
23.解：① ∵∠ABC=90°,D 为斜边 AC 的中点，
∴AD=BD=CD ，
∵AF=CF ，
∴BF=CF ，
∴DE⊥BC ，
∴BE=CE
∵BE⊥BD ，
∴BD2+BE2=DE2
∴CE2+AD2=DE2
故①正确；
② ∵AB=4, BC=3 ，
∴AC=AB2+BC2=5 ，
∴BD=AD=CD=52 ，
∵∠A=∠BDE,∠ABC=∠DBE=90° ，
∴ΔABC~ΔDBE ，
∴ABDB=BCBE ，
即 452=3BE ．
∴BE=158 ，
∵AD=BD ，
∴∠A=∠ABD ，
∵∠A=∠BDE,∠BDC=∠A+∠ABD ，
∴∠A=∠CDE ，
∴DE//AB
∴DE⊥BC ，
∵BD=CD ，
∴DE 垂直平分 BC ，
∴BE=CE ，
∴CE=158 ，
故②正确；
③ ∵∠ABC=∠DBE=90° ，
∴∠ABD=∠CBE ，
∵BDAB=524=58 ，
但随着 F 点运动， BE 的长度会改变，而 BC=3,BE3
∴BE3 或 3BE 不一定等于 58 ，
∴ΔABD 和 ΔCBE 不一定相似，
故③错误；
④ ∵∠A=30°,BC=3 ，
∴∠A=∠ABD=∠CBE=30°, AC=2BC=6
∴BD=12AC=3
∵BC=3, ∠BCE=90° ，
∴BE=BCcos30°=23 ，
∴DE=BD2+BE2=21 ，
故④正确；
故答案为：①②④．
24.解：∵ E、F 分别为 MB、BC 的中点，
∴ CM=2EF=2 ，
∵ ∠ACB=90° ， CM 是斜边 AB 上的中线，
∴ AB=2CM=4 ，
故答案为：4．
25.解：由旋转的性质可得 AE=AB=3 ， AC=AF=2 ，
∵∠B+∠BAC=90° ，且 α+β=∠B ，
∴∠BAC+α+β=90°
∴∠EAF=90°
∴EF=AE2+AF2=13。
故答案为： 13。
三、解答题
26. 证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF.
27.证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD.
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE.
28. （1）解： ∠D=∠AMP .
理由如下：∵ ∠ACB=90° ， ∠B=30° ，
∴ ∠BAC=60° .
∴ ∠D+∠DMA=60° .
由旋转的性质知， ∠DMA+∠AMP=60° .
∴ ∠D=∠AMP

（2）解：如图，过点C作 CG∥BA 交MP于点G.

∴ ∠GCP=∠B=30° ， ∠BCG=150° .
∵ ∠ACB=90° ，点M是AB的中点，
∴ CM=12AB=BM=AM .
∴ ∠MCB=∠B=30° .
∴ ∠MCG=120° .
∵ ∠MAD=180°−60°=120° .
∴ ∠MAD=∠MCG .
∵ ∠DMG−∠AMG=∠AMC−∠AMG ，
∴ ∠DMA=∠GMC .
在 △MDA 与 △MGC 中，
{∠MAD=∠MCGAM=CM∠DMA=∠GMC
∴ △MDA≌△MGC(ASA) .
∴ AD=CG .
∵ CP=12BC .
∴ CP=13BP .
∵ CG∥BM ，
∴ △CGP∽△BMP .
∴ CGBM=CPBP=13 .
设 CG=AD=t ，则 BM=3t ， AB=6t .
在 Rt△ABC 中， cosB=BCAB=32 .
∴ BC=33t .
∴ ADBC=t33t=39

（3）解：如图，由（2）知 △CGP∽△BMP .则 MD=MG=133 .
∵ CG∥MA .
∴ ∠CGH=∠AMH .
∵ ∠GHC=∠MHA ，
∴ △GHC∽△MHA .
∴ HGHH=CHAH=CGAM=13 .
∴ HG=14MG=14×133=1312 .
∴ MH=133−1312=134 .
由（2）知， CG=AD=t ，则 BM=AM=CA=3t .
∴ CH=34t ， AH=94t .
∵ ∠MHA=∠DHM ， ∠HMA=∠D .
∴ △MHA∽△DMH .
∴ MHDH=AHMH .
∴ MH2=AH⋅DH ，即 (134)2=94t⋅134t .
解得 t1=13 ， t2=−13 （舍去）.
∴ AB＝6t＝2 .
29. （1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，

则四边形FECH为矩形，
∴CH＝EF，
在△ACD和△DHF中，
{∠CAD=∠HDF∠ACD=∠DHF=90°AD=DF ，
∴ΔACD≅ΔDHF(AAS)
∴DH=AC ，
∵AC=CB ，
∴DH=CB ，
∴DH−CD=CB−CD ，即 HG=BD ，
∴BD=EF

（2）解： BD=EF ，
理由如下：作 FG⊥BC 交 BC 的延长线于 G ，

则四边形 FECG 为矩形，
∴CG=EF ，
∵∠CAD=∠GDF ， ∠ACD=∠DGF=90° ，
∴ΔACD∽ΔDGF ，
∴ DGAC=DFAD=2 ，即 DG=2AC ，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四边形FECG为矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF.
30. （1）解：当点D与点C重合时，CE∥AB，
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CAB＝∠ADE，
∴CE∥AB

（2）解：当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，
理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，

∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
{AE=ED∠EAF=∠EDCAF=DC ，
∴△EAF≌△EDC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，
∵∠AED＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴CE∥AB；

（3）解：如图②，∠EAC＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD， AC＝3CD ，
∴ FC＝（3﹣1）CD ，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴ EC＝22FC＝6−22CD ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ AB＝2AC＝6CD ，
∴ CEAB＝6−226＝3−36 ，

如图③，∠EAC＝15°，
由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴ CD＝3AC，AB＝2AC ，
延长AC至G，使AG＝CD，
∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝ 3 AC﹣AC，
在△EAG和△EDC中，
{AG=DC∠EAG=∠EDCAC=DE ，
∴△EAG≌△EDC（SAS），
∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，
∴∠CEG＝90°，
∴△CEG为等腰直角三角形，
∴ EC＝22CG＝6−22AC ，
∴ CEAB3−12 ，
综上所述，当∠EAC＝15°时， CEAB 的值为 3−36 或 3−12 .
31. （1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD =12 ∠BAC，同理∠ABD =12 ∠BAC
又∵∠ADE＝∠BAD＋∠ABD，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，
∴∠ADE =12 （∠BAC＋∠BAC） =12 （180°－∠C）.
∴∠E＝90°－ 12 （180°－∠C） =12 ∠C

（2）解：延长AD交BC于点F.

∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠E.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠E.
∴AE∥ BC.
∴∠AFB＝∠FAE＝90°， BFAE=BDDE
又∵BD∶DE＝2∶3
∴cos∠ABC＝ BFAB=BFAE=BDDE
∴cos∠ABC的值为2∶3

（3）解：△ABC与△ADE相似，且∠DAE＝90°，
∴△ABC中必有一个内角等于90°.
∵ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°.
若∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠E＝ 12 ∠C,∴∠ABC＝∠E＝ 12 ∠C
∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠ABC＝30°.这时 S△ADES△ABC=2−2
 综上所述，∠ABC＝30°或∠ABC＝45°， S△ADES△ABC 的值 2−2 或 2−3
32. （1）证明：连接 CF ，如图①所示：

∵AD⊥BC ， BE⊥AC ，
∴CF⊥AB ，
∵BH⊥AB ，
∴CF//BH ，
∴CBH=∠BCF ，
∵ 点 M 是 BC 的中点，
∴BM=MC ，
在 ΔBMH 和 ΔCMF 中， {∠MBH=∠MCFBM=MC∠BMH=∠CMF ，
∴ΔBMH≅ΔCMF(ASA) ，
∴BH=CF ，
∵AB=BC ， BE⊥AC ，
∴BE 垂直平分 AC ，
∴AF=CF ，
∴BH=AF ，
∴AD=DF+AF=DF+BH ，
∵ 在 RtΔADB 中， ∠ABC=30∘ ，
∴AD=33BD ，
∴DF+BH=33BD

（2）解：图②猜想结论： DF+BH=BD ；理由如下：
同（1）可证： AD=DF+AF=DF+BH ，
∵ 在 RtΔADB 中， ∠ABC=45∘ ，
∴AD=BD ，
∴DF+BH=BD ；
图③猜想结论： DF+BH=3BD ；理由如下：
同（1）可证： AD=DF+AF=DF+BH ，
∵ 在 RtΔADB 中， ∠ABC=60∘ ，
∴AD=3BD ，
∴DF+BH=3BD ．
33. （1）解： ∵∠BAC=90° ， AB=AC ， AD⊥BC ，
∴AD=BD=DC ， ∠ABC=∠ACB=45° ， ∠BAD=∠CAD=45° ，
∵AB=2 ，
∴AD=BD=DC=2,  ，
∵∠AMN=30° ，
∴∠BMD=180°−90°−30°=60° ，
∴∠BMD=30° ，
∴BM=2DM ，
由勾股定理得， BM2−DM2=BD2 ，即 (2DM)2−DM2=(2)2 ，
解得， DM=233 ，
∴AM=AD−DM=2−233

（2）解： ∵AD⊥BC ， ∠EDF=90° ，
∴∠BDE=∠ADF ，
在 ΔBDE 和 ΔADF 中，
{∠B=∠DAFDB=DA∠BDE=∠ADF ，
∴ΔBDE≌ΔADF(ASA) ∴BE=AF

（3）解：过点 M 作 ME//BC 交 AB 的延长线于 E ，

∴∠AME=90° ，
则 AE=2AB ， ∠E=45° ，
∴ME=MA ，
∵∠AME=90° ， ∠BMN=90° ，
∴∠BME=∠AMN ，
在 ΔBME 和 ΔAMN 中，
{∠E=∠MANME=MA∠BME=∠AMN ，
∴ΔBME≌ΔAMN(ASA) ，
∴BE=AN ，
∴AB+AN=AB+BE=AE=2AM ．
34. （1）解：∵ AB=AC ，
∴ ∠ABC=∠ACB ，
∵ CM⊥AB ， BN⊥AC ，
∴ ∠BMC=∠CNB=90° ，
在 ΔBMC 和 ΔCNB 中，
{∠MBC=∠NCB∠BMC=∠CNBBC=CB ，
∴ ΔBMC≅ΔCNB (AAS)

（2）证明：∵ ΔBMC≅ΔCNB ，
∴ BM=NC ，
∵ PE//AB ，
∴ ΔCEP∼ΔCMB ，
∴ PEBM=CPCB ，
∵ PF//AC ，
∴ ΔBFP∼ΔBNC ，
∴ PFNC=BPBC ，
∴ PEBM+PFBM=CPCB+BPCB=1 ，
∴ PE+PF=BM

（3）解：同（2）的方法得到， PE−PF=BM ，
∵ ΔBMC≅ΔCNB ，
∴ MC=BN ，
∵ ∠ANB=90° ，
∴ ∠MAC+∠ABN=90° ，
∵ ∠OMB=90° ，
∴ ∠MOB+∠ABN=90° ，
∴ ∠MAC=∠MOB ，又 ∠AMC=∠OMB=90° ，
∴ ΔAMC∼ΔOMB ，
∴ AMMC=OMMB ，
∴ AM·MB=OM·MC ，
∴ AM×(PE−PF)=OM·BN ，
∴ AM·PF+OM·BN=AM·PE ．
35. （1）解：如图1，

∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝ 12 （180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CDE＝75°−60°＝15°

（2）证明：如图2，

∵点F是边AC中点，
∴BF＝ 12 AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝ 12 AC，
∴BF＝BC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，
∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．