河北省张家口市2021届高三上学期期末考试 数学 (含答案)

张家口市2020~2021学年度第一学期期末教学质量监测高三数学    2021.1注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，，则（    ）A. B. C. D.2.是虚数单位，复数满足，则（    ）A. B. C. D.3.已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（    ）A. B. C. D.4.某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法种数为（    ）A.24 B.36 C.48 D.605.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（    ）A. B. C. D.6.圆分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，则（    ）A.5 B.10 C.15 D.257.已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（    ）A.40 B. C. D.8.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白云观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.已知函数，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组表示的是（    ）A. B.C.  D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.两个相关变量，的5组对应数据如下：8.38.69.911.112.15.97.88.18.49.8根据上表，可得回归直线方程，求得.据此估计，以下结论正确的是（    ）A. B. C. D.当时，10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，，则11.已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A.B.C.若，则D.若，则12.抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（    ）A.若，则 B.C.若，则 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.14.若数列满足：，，则________________.15.莱昂哈德·欧拉是科学史上一位杰出的数学家.他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式.已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为_____________，顶点的个数为___________.16.随机变量X的概率分布满足，则______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中.若问题中的三角形存在，请求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，满足且，________________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）数列是等比数列，前n项和为，，.（1）求；（2）若，求.19.（12分）如图，在三棱台中，平面，，，，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.20.（12分）甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？21.（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.22.（12分）椭圆过点，其上、下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.张家口市2020~2021学年度第一学期期末教学质量监测高三数学参考答案及评分标准    2021.1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【答案】D【解析】，，故，故选D.2.【答案】D【解析】.∴.3.【答案】A【解析】，为真命题，故恒成立，∴.4.【答案】C【解析】排法种数为.5.【答案】D【解析】如图，不妨设.取的中点为Q，则且，故四边形为平行四边形，∴，∴即为所求异面直线所成的角.在中，，，则.6.【答案】A【解析】如图，在中，易求得，∴.7.【答案】C【解析】，，故.∵，故.8.【答案】B【解析】题中的不等式组表示的平面区域为，故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.【答案】AC【解析】易求得，，∴..故选AC.10.【答案】BC【解析】若，当时，，不满足，故A错误.若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.11.【答案】AC【解析】，故.为图象的一条对称轴.为图象的一条对称轴，故对，有.故AC正确.12.【答案】ABD【解析】延长，交准线于.设，，，则，故，故，A正确；，B正确；，故C错误；，，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】3【解析】直线的方程为，代入，解得，故.14.【答案】5049【解析】.两式相减，得..故是首项为4、公差为5的等差数列的第1010项，故.15.【答案】15；9【解析】棱数：；设顶点的个数为，则.16.【答案】5【解析】，则.倒序：.∵，，，…，故，则.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：选①∵，∴.………………………………………………………………2分∴.…………………………………………………………………………3分又，∴B为锐角，故.……………………………………………………………………5分∵，∴……………………………………………………6分∴，.……………………………………………………………………7分即.∵，∴.………………………………………………………………………………8分代入，求得.………………………………………………………9分故存在，且.……………………………………10分选②.∵，∴.……………………………………………………………………2分.…………………………………………5分∵，∴.……………………………………………………6分∴，.………………………………………………………………7分即.∵，∴.………………………………………………………………………………8分代入，求得.………………………………………………………9分故存在，且.……………………………………10分选③.∵，∴.……………………………………………………………………1分∴.………………………………………………………………………………2分∴或.∴或.……………………………………………………………………3分∵，∴不合题意.…………………………………………………………………………4分∴.∴.……………………………………………………………………5分∴.…………………………………………………………………………6分∵，∴.………………………………………………………………7分∴.…………………………………………………………………………8分可看成是关于的一元二次方程，，.………………………………………………………………………………9分故不存在.……………………………………………………………………………………10分18.（12分）解：（1）由.……………………………………………………1分当时，两式相减，得.∵是等比数列，∴..…………………………………………………………3分又.……………………………………………………………………5分（2），.…………………………………………………………………………6分，得.………………………………………………………8分两式相减，得..……………………………………………………………………12分19.（12分）解：（1）如图，连接.由，平面，.……………………………………2分故.又，.………………………………4分可得平面，故.………………12分 （2）如图，以A为原点，，，方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.…………………………………………………………8分为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，取，得，.…………………………………………………………10分则，.…………………………………………………………11分∴.故所求二面角的正弦值为.……………………………………………………12分20.（12分）解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为.…………4分（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件.…………………………………………………5分（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；.…………………………………………6分（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；.……………………8分（iii）甲队3号胜乙队1号，概率为.…………………………………………9分故第3局甲队队员胜的概率为.……………………………………10分则第3局乙队队员胜的概率为.……………………………………………………11分因为，故甲队队员获胜的概率更大一些.……………………………………………………………………12分21.（12分）解：（1）当时，，.………………………………………1分∴，，.………………………………………………………………3分∴切线方程为，.………………………………………………………4分即.………………………………………………………………………………5分（2）∵，∴原条件等价于：在上，恒成立.化为.……………………………………………………………………6分令，则.……………………………………7分令，则.…………………………………………………………8分在上，，.………………………………………………………………9分∴在上，.………………………………………………………………10分故在上，；在上，.…………………………………………11分∴的最小值为，∴.……………………………………………………12分22.（12分）（1）解：∵，，∴.……………………………………………………2分将，都代入椭圆方程，得.………………………………………………4分∴椭圆方程为.………………………………………………………………………………5分（2）证明：设，，直线的方程为.将代入椭圆方程，整理得.………………………………6分，.………………………………………………………………7分由，得.整理，得，即.化简，得，即.当时，直线的方程为.恒过左顶点，不合题意.………………………………………………………………11分当时，直线的方程为.恒过点.……………………………………………………………………12分