辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期末考试 数学 (含答案)

2020-2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试

高三数学

考试时间：120分钟   满分：150分

注意事项：

本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分组成.第Ⅰ卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第Ⅱ卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上.

第Ⅰ卷  选择题

一、单选题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分：

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A. -2 B.  C. 1 D.

3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则此双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为（    ）

A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.26

6. 的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含项的系数为（    ）

A. 2 B. 8 C. -5 D. -17

7. 已知椭圆：，过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.

9. 已知，是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

10. 下列说法中，正确的命题是（    ）

A. 已知随机变量服从正态分布，，则

B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则

D. 若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2

11. 下列命题中是真命题的是（    ）

A. “”是“的最小正周期为”的必要不充分条件

B. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是9

C. 已知数列的各项均为正数，，，则数列的前24项和为2

D. 函数是定义在上的偶函数且在上为减函数，，则不等式的解集为

12. 已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ）

A. 与的面积相等

B. 若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为

C. 若，则的渐近线方程为

D. 若，则的离心率

第Ⅱ卷  非选择题

三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.

13. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的次品件数，则________；

14. 电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是________；

15. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为________；

16. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的序号是__________.

①；

②平面；

③三棱锥的体积为定值；

④的面积与的面积相等.

四、解答题：本大题共6个小题，共70分.

17. 已知向量，，函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的面积.

18. 设数列的前项和为，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

19. 已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若为的中点，求二面角的余弦值.

20. 某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：

将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.

（Ⅰ）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？

参考公式：，其中（）

21. 平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，.以为圆心、以3为半径的圆与为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，设，问：是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

22. 已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求，的值；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）设，若当时，不等式恒成立，求的最小值.

2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案

数   学

一、选择题：

1-5：AABDC 6-8：DCC

二、多选题：

9. ABD     10. CD    11. BC   12. AC

三、填空题：

13. 3       14. 16     15.      16. ①②③

四、解答题：

17.【解析】（Ⅰ）∵向量，，

由此可得函数，

又∵，得，

∴，即的取值范围是；

（Ⅱ）∵函数，∴，

又∵，∴，可得.

∵，，

∴根据正弦定理，可得，

由得，所以，

因此，

可得是以为直角顶点的直角三角形，

∴的面积.

18.【解析】 （Ⅰ）当时，，解得.

因为，①

所以当时，，②

①-②得，，所以.

故数列是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为.

（Ⅱ）由题知，，

所以，③

，④

③-④得，

.

所以.

19.【解析】（Ⅰ）在图①中，连接，如图所示：

因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.

因为为的中点，所以，.

又，所以.

在图②中，，所以，即.

因为，所以，.

又，平面.所以平面.

又平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因为，平面.

所以平面.

以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，.

因为为的中点，所以.

所以，.

设平面的一个法向量为，

由得.

令，得，，所以.

设平面的一个法向量为.

因为，，

由得，

令，得，

则，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20.【解析】（Ⅰ）由题意知，解得，

样本平均数为元.

（Ⅱ）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，

随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

.

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表：

.

所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关.

21.【解析】（Ⅰ）由题意可知，，∴，

又，，∴，∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形，

假设存在使得，则四边形为矩形，

∴，

若的斜率不存在，直线的方程为，由得，，

∴，不合题意，故的斜率存在.

设的方程是，，，

由得.

∴，，①

∴.②

由，得，

把①，②代入得.

∴存在直线：或使得.

22.【解析】（Ⅰ）由，得，∴.

由已知可得：，即，∴，.

（Ⅱ），

∴.

当，即时，，在上为增函数，无极值点.

当，即时，则有：当时，，当时，，

∴在为减函数，在上为增函数，

∴是极小值点，无极大值点；

综上可知：当时，函数无极值点，

当时，函数的极小值点是，无极大值点.

（Ⅲ），

由题意知：当时，恒成立，

又不等式等价于：，即，

即①，①式等价于，

由知，，.

令，则原不等式即为：，

又在上为增函数，所以，原不等式等价于：②，

又②式等价于，即：.

设，，∴在上为增函数，在上为减函数，

又，∴当时，在上为增函数，在上为减函数，

∴.要使原不等式恒成立，须使，

当时，则在上为减函数，，

要使原不等式恒成立，须使，∴时，原不等式恒成立.

综上可知：的取值范围是，的最小值为.