陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第三次月考 数学（文） (含答案) 试卷
展开长安一中2020—2021学年度第一学期第三次质量检测
高三年级 数学(文科)试题
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）
A. B. C. D.
2．已知，则=（ ）
A. B. C. D.
3．已知平面向量，且，则 ( )
A. B. C. D.
4．“”是“直线互相平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．若定义在上的偶函数是上的递增函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7．已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．0
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
10．函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．直线l：与曲线相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸的相应位置上)
13．抛物线＝的准线方程是
14．函数在点处的切线的斜率是 .
15．已知三边长分别为4、5、6的的外接圆恰好是球的一个大圆，为球面上一点，若点到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为
16．在中，的内心，若
，则动点的轨迹所覆盖的面积为 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）如图，底面是正三角形的直三棱 柱中，D是BC的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．（本小题满分12分）
随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
20. （本小题满分12分）已知椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程及其离心率；
（2）过椭圆右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点，当的平分线为时，求直线的斜率．
21．（本小题满分12分）己知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
请考生从第22、23题中任选一题做答。如果多选，则按所做第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
关于的不等式 ．
（1）当时，解此不等式；
（2）设函数 ，当m为何值时， 恒成立？
长安一中2020—2021学年度第一学期第三次质量检测
高三年级 数学(文科)试题参考答案
一、选择题
1-6 ACCACA 7-12 BDDABC
二、填空题
13. 14. 15.10 16.
三、解答题
17. 解：（1）当时，由得：． 当时， ① ；
② 上面两式相减，得：．
所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 得：．……6分
（2）． ． ……10分
……12分
18. （1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点
……3分
又
……6分
（2）
过D作于H
又为直棱柱
且 10分
所以 ……12分
19.（1） 2分
解得=179 所以污损处是9. ……4分
（2）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件， ……8分
而事件A含有4个基本事件， …… 10分
∴P（A）＝＝ ……12分
20.解(1）把点代入，可得．
故椭圆的方程为，椭圆的离心率为． ……4分
（2）由（1）知：．
当的平分线为时，由和知：轴．
记的斜率分别为．所以，的斜率满足……6分
设直线方程为，代入椭圆方程并整理可得，
．
设，则
又，则，
．……8分
所以=
……11分
即． ． ……12分
21.解：（1）由已知得
……2分
令得
即时，；时，；
故单调递增区间为，单调递减区间为………4分
（2）
由得，所以在单调递减，……5分
设从而对任意，
恒有
即 ……7分
令，则 等价于在单调递减，
即恒成立，从而恒成立 ……9分
故设，
则
当，。
∴ ∴……12分
22．（1）直线的普通方程为：；
曲线的直角坐标方程为 ……5分
（2）因为圆心到直线的距离
所以的取值范围是.
23．解：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为 ……5分
（2）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，
因在上为增函数， 则，当时，，
故只需即可，即 ……10分
