人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品学案

这是一份人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品学案，共9页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，总结升华，答案与解析，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；


2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；


3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；


4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．


【知识网络】





【要点梳理】要点一、旋转


1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.





























要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.


2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；


(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；


(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).


要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.


3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键


沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．


要点诠释：


作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；


(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；


(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；


(4)连接所得到的各对应点.


要点二、特殊的旋转—中心对称


1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．


要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；


（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .


2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．


要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；


（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.


要点三、平移、轴对称、旋转


平移、轴对称、旋转之间的对比


【典型例题】


类型一、旋转


1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（ ）.


A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁





【答案】B.


【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.


【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.


举一反三：


【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（ ）.





【答案】A.


类型二、中心对称


2. 如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.





【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′


∴O点在AA′的垂直平分线上


同理O点也在BB′的垂直平分线上


∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．





【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.


举一反三：


【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）.


A． B． C． D．


【答案】A.


类型三、平移、轴对称、旋转


3. （2015•裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．


（1）求证：△COD是等边三角形；


（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；


（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？





【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；


（2）结合（1）的结论可作出判断；


（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．


【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，


∴CO=CD，∠OCD=60°，


∴△COD是等边三角形．


（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．


理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，


∴△BOC≌△ADC，


∴∠ADC=∠BOC=150°，


又∵△COD是等边三角形，


∴∠ODC=60°，


∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，


∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，


∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，


∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．


（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，


∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，


∴190°﹣α=α﹣60°，


∴α=125°；


②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．


∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，


∴α﹣60°=50°，


∴α=110°；


③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．


∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，


∠AOD==120°﹣，


∴190°﹣α=120°﹣，


解得α=140°．


综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．


【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．


举一反三：


【变式】 已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.


























【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.


将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，


∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,


∵四边形ABCD中,∠BDC=120º, ∠BAC=60°,


∴∠DBA+∠DCA=180°,


即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E三点共线.


∴BD+DC=CE+DC=DE.


又∵∠DAE=60°.


∴△ADE是等边三角形,


即DE=AD.


∴BD+DC=AD.


4． 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.











【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针 旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.


【答案与解析】






































证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，


∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，


∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．


∴BC=AE， BD=DE，∠DAE=∠DCB,


∴△BDE为等边三角形．


∴BE=BD．


∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，


∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．


∴∠BAE=90°．


∵在Rt△BAE中，，


∴．


【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.


5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上


（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.


（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.





























【答案与解析】


(1)如图， DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.


（2）线段BE=DG


如图: ∵正方形ABCD和正方形AEFG


∴AD=AB,AG=AE,


∠1+∠2=∠2+∠3


∴∠DAG=∠BAE


∴△ADG≌△ABE


∴ DG=BE


【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.


举一反三：


【变式】（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，求AK的长？





【答案与解析】


解：连接BH，如图所示：


∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，


∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，


由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，


∴∠ABE=60°，


在Rt△ABH和Rt△EBH中，


，


∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），


∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，


∴AH=×=1，


∴EH=1，


∴FH=﹣1，


在Rt△FKH中，∠FKH=30°，


∴KH=2FH=2（﹣1），


∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；


故答案为：.


6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.


求证：．





【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.


【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°


∴ AB=AC，


将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到





∴


∴ ，，，,


∴ ,


连结，则在中，


,


∴ ①,


又∵ ,


∵ .


又∵ ,


∴ 在与中,


.


∴ ②,


∴ 由①②得：.


【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.



平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不


同


点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素
平移方向


平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．