人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积优质导学案

这是一份人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积优质导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积


的计算公式，并应用这些公式解决问题；


2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；


3. 能准确计算组合图形的面积.


【要点梳理】


要点一、弧长公式


半径为R的圆中


360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：


n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)


要点诠释：


(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；


(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；


(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.





要点二、扇形面积公式


1.扇形的定义


由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.


2.扇形面积公式


半径为R的圆中


360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：


n°的圆心角所对的扇形面积公式：


要点诠释：


(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；


(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.


(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；


(4)扇形两个面积公式之间的联系：.





要点三、圆锥的侧面积和全面积


连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.


圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则


圆锥的侧面积，


圆锥的全面积.


要点诠释：


扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.





【典型例题】


类型一、弧长和扇形的有关计算


1. 如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，的长为20πcm，


那么AB的长是多少?





【答案与解析】


∵ ，


∴ ．


解得 R＝30 cm．


答：AB的长为30cm．


【总结升华】由弧长公式知，已知l、n，可求R．


举一反三：


359387 弧长 扇形 圆柱 圆锥


经典例题5-6


【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是 ．


【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得





2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?





【答案与解析】


∵ BC＝AD＝，∴ ．


连接PE，∵ AD切⊙E于P点，∴ PE⊥AD．


∵ ∠A＝∠B＝90°．


∴ 四边形ABEP为矩形，


∴ PE＝AB＝1．


在Rt△BEM中，，∠BEM＝30°．


同理∠CEN＝30°，∴ ∠MEN＝180°-30°×2＝120°．


∴ ．


【总结升华】由与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角∠MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积．


举一反三：


359387 弧长 扇形 圆柱 圆锥


经典例题5-6


【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）．


A． B． C． D．


【答案】D；


【解析】设圆锥底面圆的半径为r，∴S底=πr2，S侧=•2r•2πr=2πr2，∴S侧：S底=2πr2：πr2=2：1．





类型二、圆锥面积的计算


3. 如图（1），从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．


（1）求这个扇形的面积（结果保留）．


（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．


图（1）











O


①


②


③


（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．











【答案与解析】














①


②


③








（1）连接，如图（2），由勾股定理求得：





（2）连接并延长，与弧和交于，


弧的长： ， 图（2）


圆锥的底面直径为：


，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．


（3）（2）中的结论仍然成立.


由勾股定理求得： 弧的长：





∴圆锥的底面直径为：





且





即无论半径为何值，


∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．


【总结升华】（1）连接BC、OA，由于∠BAC=90°，根据圆周角定理知BC为⊙O的直径，根据等腰三角形的性质即可求出AB、AC的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90°，根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积．


（2）过A作⊙O的直径AF，求出以FE为直径的圆的周长，若此圆的周长＜弧BC的长，则不能围成圆锥，反之则能．


举一反三：


【变式】（2015•黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是 ．


【答案】24π.


【解析】底面周长是：2×3π=6π，


则侧面积是：×6π×5=15π，


底面积是：π×32=9π，


则全面积是：15π+9π=24π．


故答案为：24π．


类型三、组合图形面积的计算


4. （2015•山西模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．


（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）


（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．





【答案与解析】


解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，


∴PD⊥AB，


∵∠A=30°，


∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，


∵PF⊥AC，


∴∠OPF=30°，


∴OF=OP，


∵OA=OC，AD=BD，


∴BC=2OD，


∴OA=BC=2，


∴⊙O的半径为2，


∴劣弧PC的长===π；


（2）∵OF=OP，


∴OF=1，


∴PF==，


∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．


【总结升华】本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．