考点05 函数的应用基础题汇总（1）-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点05 函数的应用基础题汇总（1）
一、单选题（共15小题）

1.（2020•山东模拟）以下函数在区间（0，）上必有零点的是（　　）
A．y＝x B．y＝3 C．y＝ln（x+） D．y＝2x+1

【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，
对于B，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，
对于C，y＝ln（x+），当x＝时，y＝ln1＝0，区间（0，）上有零点，符合题意，
对于D，y＝2x+1，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，
故选：C．
【知识点】函数的零点、函数零点的判定定理

2.（2020秋•番禺区校级期中）已知函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（　　）
A．（0，2） B．（0，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝＝＝1+，
由函数y＝向左（m＜0）或向右（m＞0）平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，
若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，必有，则0＜m≤2，
即m的取值范围为（0，2]，
故选：B．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断

3.（2020秋•泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
若f（2a﹣1）＞f（），则有0≤2a﹣1＜，解可得≤a＜，
即a的取值范围为[，），
故选：D．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断

4.（2020秋•贵州月考）已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1

【解答】解：当a＞0时，f（a）＝2a﹣2＝2，解得a＝2；
当a≤0时，f（a）＝a2+1＝2，解得a＝﹣1；
综上，a＝2或a＝﹣1；
故选：C．
【知识点】函数的零点

5.（2020秋•海淀区校级月考）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
x
1
2
3
4
f（x）
6.1
2.9
﹣3.5
﹣1
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【解答】解：由题意可知：f（3）＝﹣3.5＜0，
f（2）＝2.9＞0，
所以f（2）f（3）＜0．
函数f（x）一定存在零点的区间是（2，3）
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理

6.（2020秋•庐阳区校级期中）已知函数f（2x﹣1）＝4x﹣1（x∈R），若f（a）＝15，则a的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：根据题意，函数f（2x﹣1）＝4x﹣1＝2（2x﹣1）+1，
则f（x）＝2x+1，
若f（a）＝15，即2a+1＝15，解可得a＝7，
故选：C．
【知识点】函数的零点

7.（2020•山东模拟）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从（　　）天后该国总感染人数开始超过100万．（lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990）（　　）
A．43 B．45 C．47 D．49

【解答】解：设y为x天后该国的总感染人数，
则y＝200×1.2x，令200×1.2x＞1000000，
两边取对数得：xlg1.2＞lg5000，即xlg1.2＞3+lg5，
解得x≥47．
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

8.（2020•浙江模拟）已知函数f（x）＝lnx+aex﹣1+1的图象与函数g（x）＝ln﹣ae1﹣x﹣1的图象有唯一公共点，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1

【解答】解：函数f（x）＝lnx+aex﹣1+1的图象与函数g（x）＝ln﹣ae1﹣x﹣1的图象有唯一公共点，
则方程有唯一根，
即方程有唯一根，即函数h（x）＝lnx+aex﹣1+ln（2﹣x）+ae1﹣x+2有唯一零点，
又h（2﹣x）＝ln（2﹣x）+ae2﹣x﹣1+ln[2﹣（2﹣x）]+ae1﹣（2﹣x）+2＝ln（2﹣x）+ae1﹣x+lnx+aex﹣1+2，
于是h（2﹣x）＝h（x），
故函数h（x）的图象关于x＝1对称，
由于h（x）只有一个零点，故函数h（x）的零点只能是x＝1，
于是h（1）＝a+a+2＝0，解得a＝﹣1．
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

9.（2020秋•红河州月考）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣k（0≤k≤1）的所有零点从小到大依次成等差数列，则g（x）的零点一定不包含（　　）
A． B．2019 C．2020 D．

【解答】解：由题意，可知f（x）的周期为2，函数g（x）的零点几曲线y＝f（x）与直线y＝k的交点的横坐标；
作出图象．
由图象可得：当k＝0时，g（x）的零点为﹣1，1，3，5……，都是奇数，此时可知2019是g（x）的零点；
当k＝1时，g（x）的零点为0，2，4，6……，都是偶数，此时可知2020是g（x）的零点；
当k＝时，g（x）的零点为，1，2﹣……，以此规律，可知2020不是g（x）的零点；
故选：D．
【知识点】函数零点的判定定理

10.（2020•浙江模拟）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有4个零点，则（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0

【解答】解：（1）令g（x）＝f（x）﹣ax，则，
则函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有4个零点等价于方程g（x）＝b有4个实数根．
当x＞0时，，
其图象为开口向上、以直线为对称轴的抛物线的一部分，
当x≤0时，g′（x）＝ex（x+a+1），令g′（x）＝0，得x＝﹣（a+1）．
若a＞0，则g（x）在（﹣∞，﹣（a+1））上单调递减，在（﹣（a+1），0]上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且g（﹣a﹣1）＜0，g（0）＝a＞0，
当x→﹣∞时，g（x）→0，故可作出函数g（x）的大致图象，如图1所示，
此时若方程g（x）＝b有4个实数根，则b＜0，故选项B正确；
若﹣1＜a≤0，则函数g（x）在（﹣∞，﹣（a+1））上单调递减，
在（﹣（a+1），0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，且g（﹣a﹣1）＜0，g（0）＝a＜0，
当x→﹣∞时，g（x）→0，故可作出函数g（x）的大致图象，如图2所示，
显然此时方程g（x）＝b不可能有4个实数根；
若a≤﹣1，分析可知函数g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，
且g（0）＝a＜0，x→﹣∞时，g（x）→0，故可作出函数g（x）的大致图象，如图3所示，
此时显然方程g（x）＝b不可能有4个实数根．
综上可知，选项A，C，D不正确，选项B正确，

故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

11.（2020•山东模拟）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，）∪（7，+∞） B．（0，）∪（9，+∞）
C．（0，）∪（7，+∞） D．（0，）∪（9，+∞）

【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
∴当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，函数f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x+1，
又对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4，
又由函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，得函数y＝f（x）与y＝loga（x+2）的图象在（﹣1，7）上有4个不同的交点，
f（1）＝1，当a＞1时，由图1可得loga（5+2）＜1，解得a＞7；
当0＜a＜1时，由图2可得loga（7+2）＞﹣1，解得．
故选：C．

【知识点】函数的零点与方程根的关系

12.（2020秋•全国月考）已知函数f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）（k＞0）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则k的取值范围是（　　）
A．（0，4） B．（1，+∞）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1）∪（1，4）

【解答】解：因为函数f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，所以关于x的方程|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的实数根． 画出函数g（x）的图象，如图．

y＝|kx﹣2|的图象恒过点（0，2），且与x轴的交点为．
当，即k≥4时，y＝|kx﹣2|与g（x）的图象在（0，+∞）上仅有2个不同的交点，如图．

当，即1＜k＜4时，y＝|kx﹣2|与g（x）的图象在上有1个交点，在上有2个交点，如图．

当，即0＜k＜1时，y＝|kx﹣2|与g（x）的图象在上有3个交点，在上有0个交点，如图．

当，即k＝1时，y＝|kx﹣2|与g（x）的图象在（0，+∞）上有2个交点，如图．

综上，可得k的取值范围为（0，1）∪（1，4）．
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

13.（2020秋•安徽月考）已知函数与g（x）＝kx+1，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有n个零点x1，x2，…，xn，则F（x1）+F（x2）+…+F（xn）的值为（　　）
A．0 B．1 C．n D．2n

【解答】解：函数f（﹣x）＝＝
则数f（﹣x）+f（x）＝+＝2
即f（﹣x）+f（x）＝2，可得f（x）关于（0，1）对称，
直线y＝kx+1，直线恒过（0，1），
∴f（x）与g（x）均关于（0，1）中心对称，
可得f（x）+g（x）＝2，且g（x1）+g（xn）＝g（x2）+g（xn﹣1）＝…＝2，
∴g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝；
那么f（x）＝2﹣g（x），
∴F（x1）+F（x2）+…+F（xn）＝2n﹣2[g（x1）+g（x2）+…+g（xn）]＝2n﹣n＝n．
故选：C．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

14.（2020秋•道里区校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x﹣2）＝f（x），且函数y＝f（x+1）为偶函数．当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则方程在[﹣1，2]上的实根之和为（　　）
A．4 B．3 C．2+log23 D．3﹣log23

【解答】解：由f（x﹣2）＝f（x）得，f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，
又函数y＝f（x+1）为偶函数，
∴函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，
∴函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又当x∈[0，1]，f（x）＝2x﹣1，作出函数y＝f（x）的图象如下图所示，

∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴方程在[﹣1，2]上的实根之和为2加上方程在[﹣1，0]上的实根，
又x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，由对称性可知，当x∈[1，2]时，f（x）＝22﹣x﹣1，
令x∈[﹣1，0]，则x+2∈[1，2]，故f（x）＝f（x+2）＝2﹣x﹣1（x∈[﹣1，0]），
令，即，解得x＝1﹣log23，
∴方程在[﹣1，2]上的实根之和为2+1﹣log23＝3﹣log23．
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断

15.（2020春•海珠区校级月考）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2的取值范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，] C．（0，] D．[﹣2，]

【解答】解：作出f（x）＝的图象如图，

由图象的对称性可知，x1+x2＝﹣4，
又|log2x3|＝|log2x4|，∴log2x3＝﹣log2x4，
则log2x3+log2x4＝log2（x3x4）＝0，∴x3x4＝1，
x1+x2＝﹣4+＝﹣4+x3+x4＝﹣4+．
∵log2x4∈（0，2]，∴x4∈（1，4]，
则x1+x2＝﹣4+∈（﹣2，]．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系


二、填空题（共10小题）

16.（2020秋•江津区校级月考）函数的零点是　　．

【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，3）∪（3，+∞），
显然x+1＞0，x﹣3≠0，
令f（x）＝0，即＝0，即lnx＝0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【知识点】函数的零点

17.（2020秋•温州期中）函数的值域是，则a＝　　；f（x）的零点为　　．

【解答】解：根据题意，函数，则有，
必有a＜8，不等式解可得a≤x≤8，
则函数的定义域为[a，8]，
函数y＝在区间[a，8]上为增函数，函数y＝在区间[a，8]上为减函数，
则函数f（x）在[a，8]上为增函数，
又由f（x）的值域为[﹣2，2]，则有f（8）＝＝2，解可得a＝4，
则f（x）＝﹣，若f（x）＝0，即＝，解可得x＝7，
即函数f（x）的零点为7，
故答案为：4，7．
【知识点】函数的值域、函数的单调性及单调区间、函数的零点

18.（2020秋•华龙区校级期中）设函数f（x）＝2﹣|x﹣1|，x∈（﹣1，3），定义在R上的偶函数g（x）满足g（1+x）＝g（1﹣x），当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为　　．

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2﹣|x﹣1|＝（）|x﹣1|，其图象关于直线x＝1对称，
函数g（x）为偶函数，且满足g（1+x）＝g（1﹣x），则g（x）的图象也关于直线x＝1对称，
当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，
则函数f（x）与g（x）的大致图象如图，
在区间（﹣1，3）上，两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，
则两个图象所有交点的横坐标之和为4，
故答案为：4．

【知识点】函数的图象与图象的变换、函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系

19.（2020•浙江模拟）已知x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）相邻的两个零点，则φ＝　　；若函数g（x）＝|f（x）﹣|在[﹣，m]上的最大值为1，则m的取值范围是　　．

【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得＝﹣，则T＝π，
所以＝π，所以ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
由题意知2×+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
又0＜φ＜，
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+），
因为函数g（x）在[﹣，m]上的最大值为1，且当x∈[﹣，m]上的最大值为1，
当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+，
所以﹣＜2m+≤，
所以﹣＜m≤．
故答案为：，（﹣，]．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

20.（2020•杨浦区一模）方程1+log2x＝log2（x2﹣3）的解为　　．

【解答】解：∵1+log2x＝log2（x2﹣3），
∴log2（2x）＝log2（x2﹣3），故2x＝x2﹣3，
故，解得：x＝3，
故答案为：x＝3．
【知识点】函数的零点

21.（2020秋•湖南月考）已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣m＝0有4个根分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是　　．

【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示：，
∵方程f（x）﹣m＝0有4个根分别为x1，x2，x3，x4，
∴2＜m＜4，且有x1+x2＝﹣4，，﹣lgx3+2＝lgx4+2，
∴x2＝﹣4﹣x1，lgx3+lgx4＝0，
∴x3x4＝1，
∴x1•x2•x3•x4＝x1•x2＝x1（﹣4﹣x1）＝＝m，
∴2＜x1•x2•x3•x4＜4，即x1•x2•x3•x4的取值范围是（2，4），
故答案为：（2，4）．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

22.（2020•奉贤区一模）已知y＝f（x）是奇函数，定义域为[﹣1，1]，当x＞0时，f（x）＝|﹣xα|﹣1（α＞0，α∈Q），当函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点时，则实数t的取值范围是　　．

【解答】解：当x∈（0，1]时，易知函数单调递减，且x→0时，y→2，x＝1时，，其大致图象如下，

∴f（x）＝|﹣xα|﹣1在（0，1]的大致图象如下，

又函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，故函数f（x）的图象如下，

要使函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点，只需函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有且仅有3个交点，
由图象可知，．
故答案为：．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

23.（2020•浦东新区一模）设函数f（x）＝|x﹣a|﹣+a，若关于x的方程f（x）＝1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为　　．

【解答】解：由方程f（x）＝1，得有两个不同的解，
令，
则h（x）＝|x﹣a|+a的顶点（a，a）在y＝x上，
而y＝x与的交点坐标为（2，2），（﹣1，﹣1），
联立得x2+（1﹣2a）x+2＝0，
由△＝（1﹣2a）2﹣8＝0，解得或，
作出图象，数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数a的取值范围是或或2．
故答案为．

【知识点】函数的零点与方程根的关系

24.（2020•松江区一模）对于定义域为D的函数f（x），若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f（x12）＝f（x22）＝2f（x1+x2），则称函数f（x）具有性质M，若函数g（x）＝|log2x﹣1|，具x∈（0，a]有性质M，则实数a的最小值为　　．

【解答】解：设x1＜x2，由f（x12）＝f（x22）得，，
则，故，
∴，
又，
∴，
∵，∴，
则，∴，
∴，故，
∴，则实数a的最小值为．
故答案为：．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

25.（2020秋•荔湾区校级期中）设f（x）是定义域在R上的偶函数，对∀x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝（）x﹣1，若在区间[﹣1，3]内关于x的方程f（x）﹣a（x﹣1）2＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是　　．

【解答】解：由f（1﹣x）＝f（1+x），得f（﹣x）＝f（2+x），
又f（x）是定义域在R上的偶函数，∴f（2+x）＝f（﹣x）＝f（x），
可得f（x）是周期为2的周期函数．
∵当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝（）x﹣1，
∴作出函数f（x）在区间[﹣1，3]内的图象如图，

方程f（x）﹣a（x﹣1）2＝0有4个不同的实数根，
即y＝f（x）与y＝a（x﹣1）2的图象在区间[﹣1，3]内有4个不同交点．
当y＝a（x﹣1）2过（3，1）时，解得a＝，
又随着a的减小抛物线y＝a（x﹣1）2的开口变大，可得
若在区间[﹣1，3]内关于x的方程f（x）﹣a（x﹣1）2＝0有4个不同的实数根，
则实数a的取值范围是（0，]．
故答案为：（0，]．
【知识点】函数的零点与方程根的关系


三、解答题（共10小题）

26.（2020秋•中山市校级月考）已知函数f（x）＝1+（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）函数g（x）＝f（x）﹣log2k，若函数g（x）有零点，求参数k的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝1+，则有2x﹣1≠0，解可得x≠0，
即函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
根据奇函数的定义，对于∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则有f（﹣x）+f（x）＝0，
即，化简得：2﹣a＝0即a＝2；
（2）若函数g（x）有零点，则直线y＝log2k与曲线y＝f（x）有交点，
又由2x﹣1∈（﹣1，+∞），那么，则f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
故由log2k∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
解得：，
即k的取值范围为：（0，）∪（2，+∞）．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系

27.（2020秋•思明区校级期中）已知a∈R，函数．
（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若函数g（x）＝f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的值．

【解答】解：（1）根据题意，当a＝5时，f（x）＝log2（+5），
若f（x）＞0，即log2（+5）＞0，变形可得＞0，
解可得x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}，
（2）根据题意，若函数g（x）＝f（x）+2log2x只有一个零点，即方程log2（+a）+2log2x＝0有且只有一个根，
方程log2（+a）+2log2x＝0，变形可得log2（ax2+x）＝0，即ax2+x﹣1＝0，
则原问题等价于方程ax2+x﹣1＝0有且只有一个正根，
分3种情况讨论：
当a＝0时，方程为x﹣1＝0，有一个正根1，符合题意，
当a＞0时，△＝1+4a＞0，故ax2+x﹣1＝0有两解x1，x2，且x1x2＝﹣＜0，必为一正一负的两根，符合题意，
当a＜0时，令△＝1+4a＝0解得a＝﹣，此时方程ax2+x﹣1＝0的根为2，符合题意，
综合可得：a的取值范围为：{a|a≥0或a＝﹣}．
【知识点】函数的零点、指、对数不等式的解法、函数的零点与方程根的关系

28.（2020秋•运城期中）已知函数f（x）＝（a≠0）．
（1）判断函数f（x）在区间（﹣2，2）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若f（3）＝3，求x∈[﹣1，1]时函数f（x）的值域．

【解答】解：（1）当a＞0时，函数f（x）在区间（﹣2，2）上递增，当a＜0时，函数f（x）在区间（﹣2，2）上递减，
证明如下：设﹣2＜x1＜x2＜2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
又由﹣2＜x1＜x2＜2，则x1﹣2＜0，x2﹣2＜0，（x1﹣x2）＞0，
当a＞0时，a（x1﹣x2）＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x）在区间（﹣2，2）上递增，
同理：当a＜0时，函数f（x）在区间（﹣2，2）上递减；
（2）若f（3）＝3，f（3）＝＝3a＝3，则a＝1，
此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上递增，则f（x）max＝f（1）＝，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1，
即函数的值域为[﹣1，]．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的值域、函数单调性的性质与判断

29.（2020秋•潍坊期中）某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年（x∈N+）所需的各种费用总计为2x2+6x万元．
（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；
（2）该车若干年后有两种处理方案：
①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；
②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．

【解答】解：（1）因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x年（x∈N+），
所需的各种费用总计为2x2+6x万元，
若该车x年开始赢利，则30x＞2x2+6x+50，
则2x2﹣24x+50＜0，即x2﹣12x+25＜0，
解得3≤x≤9，（x∈N+）．
所以该车营运第3年开始赢利；
（2）方案①由题意知赢利总额，
∴x＝6时，赢利总额达到最大值为22万元，
所以6年的赢利总额为32万元，
方案②由题意知年平均赢利总额，
当且仅当x＝5时取等号．∴x＝5时年平均赢利总额达到最大值为4万元，
所以5年的赢利总额为32万元，
两种方案的赢利总额一样，但方案②的时间短，
故方案②合算．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

30.（2020•宝山区一模）已知函数f（x）＝x+（m∈R）．
（1）当m＝1时，解不等式f（x）+1＞f（x+1）；
（2）设x∈[3，4]，且函数y＝f（x）+3存在零点，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝x+，
由f（x）+1＞f（x+1），得（x+）+1＞（x+1）+，
即＞，解得x＜0或x＞1．
∴不等式f（x）+1＞f（x+1）的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；
（2）函数y＝f（x）+3在[3，4]上存在零点⇔方程f（x）+3＝0在[3，4]上有解，
即方程x+在[3，4]上有解，
即m＝﹣（x+1）2+4在[3，4]上有解，函数y＝﹣（x+1）2+4在[3，4]上是减函数
则y∈[﹣21，﹣12]，
从而，实数m的取值范围是[﹣21，﹣12]．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

31.（2020•浦东新区一模）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n（n＝1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量Sn（公斤）近似地满足Sn＝．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总量须不低于前n个月的需求总量．
（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？
（2）若每月初等量进货p（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最小值．

【解答】解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，
当n＝7时，因为646×7﹣S7＝646×7﹣（﹣6×49+774×7﹣618）＝16＞0，第7个月该食材够用，
所以，前7个月每月该食材都够用．
（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥Sn对n＝1，2，…，12恒成立，
①当1≤n≤6时，pn≥635n恒成立，可得p≥635，
②当7≤n≤12时，pn≥﹣6n2+774n﹣618恒成立，即恒成立，
因为774﹣6（n+）≈652.2，当且仅当n＝，即n＝≈10.15时，等号成立，
又因为n∈N*，且n≤12，所以当n＝10时，的最大值为652.2，
综上所述，p≥652.2，
所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p的最小值为652.2公斤．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

32.（2020•松江区一模）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查测算，花费t（万元）进行促销后，商品的剩余量3﹣x与促销费t之间的关系为3﹣x＝（其中k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品．
（1）要使促销后商品的利余量不大于0.1（万件），促销费t至少为多少（万元）？
（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为32+（元），若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？

【解答】解：（1）由3﹣x＝，当t＝0，x＝1时，得k＝2，
∴3﹣x＝，由，得t≥19，
故要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费t至少为19（万元）；
（2）设网店的利润为y（万元），由题意可得，
y＝
＝．
当且仅当，即t＝7时取等号，此时3﹣x＝0.25．
∴当促销费t为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25（万件）．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

33.（2020秋•安徽月考）随着我国人民生活水平的提高，家用汽车的数量逐渐增加，同时交通拥挤现象也越来越严重，对上班族的通勤时间有较大影响．某群体的人均通勤时间，是指该群体中成员从居住地到工作地的单趟平均用时，假设某城市上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，采用公交方式通勤的群体（公交群体）的人均通勤时间为40分钟，采用自驾方式通勤的群体（自驾群体）的人均通勤时间y（单位：分钟）与自驾群体在S中的百分数x（0＜x＜100）的关系为：．
（1）上班族成员小李按群体人均通勤时间为决策依据，决定采用自驾通勤方式，求x的取值范围（若群体人均通勤时间相等，则采用公交通勤方式）．
（2）求该城市上班族S的人均通勤时间g（x）（单位：分钟），并求g（x）的最小值．

【解答】解：（1）当0＜x≤35时，自驾群体的人均通勤时间为30分钟，公交群体的人均通勤时间为40分钟，此时小李采用自驾通勤方式，
当35＜x＜100时，因为小李采用自驾通勤方式，所以，
即x2﹣75x+1225＜0，
解得，所以，
综上，，
即x的取值范围为（0，）．
（2）设上班族S中有n人，则自驾群体中有nx%人，公交群体中有n（1﹣x%），
当0＜x≤35时，，
当35＜x＜100时，，
所以，
当0＜x≤35时，g（x）≥g（35）＝36.5，
当35＜x＜100时，，
因为36.5＞36.375，
所以，当时，g（x）的最小值为36.375（分钟）．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

34.（2020秋•湖南期中）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本f（x）＝（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．
（1）求该游乐项目每天的利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；
（2）当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？

【解答】解：（1）当0＜x＜500时，y＝400x﹣（）﹣10000＝﹣，
当500≤x≤800时，y＝400x﹣410x﹣＝﹣10（x+）+90000．
∴；
（2）由（1）可得，当0＜x＜500时，
y＝﹣＝，
当x＝380时，ymax＝62200；
当500≤x≤800时，y＝﹣10（x+）+90000＝78000．
当且仅当x＝600时，ymax＝78000．
综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

35.（2020•嘉定区一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．

【解答】解：（1）由题意，当x＝120（辆/千米）时，v＝0（千米/小时），
代入，得0＝60﹣，解得k＝1200．
∴，
当0＜x≤20时，v＝50≥40，符合题意；
当20＜x≤120时，令60﹣≥40，解得x≤80，
∴20＜x≤80．
综上，0＜x≤80．
故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；
（2）由题意得，，
当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，
∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；
当20＜x≤120时，
y＝＝
＝
＝≈3250．
当且仅当140﹣x＝，即x＝140﹣20≈87∈（20，120]时成立，
综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．
故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．
【知识点】根据实际问题选择函数类型