考点09 期中训练之函数的应用2-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点09 期中训练之函数的应用2

1.（2020•温州期中）函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m＞﹣ D．m＜﹣
【解答】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，
则有2m﹣1＜0，解可得m＜，
故选：B．
【知识点】函数的单调性及单调区间
2.（2020•泰山区校级期中）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，4] C．[3，4） D．[3，4]
【解答】解：由于函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则方程f（x）﹣m＝0有三个根，
故函数y＝f（x）与y＝m的图象有三个交点．
函数，其图象如图所示，
故函数f（x）的极大值为f（﹣1）＝4，极小值为f（0）＝3，
则实数m的取值范围[3，4）．
故选：C．

【知识点】函数零点的判定定理
3.（2020•海淀区校级期中）2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量x，当年电影放映场次作为函数值y，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（　　）

A．f（x）＝ax2+bx+c B．f（x）＝ax+b
C．f（x）＝eax+b D．f（x）＝
【解答】解：由图象可知在第一象限内，y是关于x的增函数，
当＞0时，y＝在第一象限内是减函数，
当＜0时，y＝在第一象限内没有图象，
故y＝最不适合．
故选：D．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
4.（2020•蒲城县期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米（0＜a＜12），4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的面积为S平方米，S的最大值为f（a），若将这颗树围在花圃内，则函数u＝f（a）的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x，
所以，矩形ABCD的面积为S＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+64，
当x＝8时，S取得最大值，S最大＝64，
所以，0＜a＜8时，矩形花圃的最大面积为S为定值64，
8＜a＜12时，∵S＝x（16﹣x）的S随x的增大而减小，
∴x＝a时S取得最大值，S＝a（16﹣a），
∴S＝，
纵观各选项，只有C选项函数图象符合．
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
5.（2020•沈阳期中）已知x1、x2分别是函数f（x）＝ex+x﹣4、g（x）＝lnx+x﹣4的零点，则ex1+lnx2的值为（　　）
A．e2+ln3 B．e+ln3 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，已知x1、x2分别是函数f（x）＝ex+x﹣4、
g（x）＝lnx+x﹣4的零点，
函数f（x）＝ex+x﹣4的零点为函数y＝ex与y＝4﹣x的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为（x1，），
函数g（x）＝lnx+x﹣4的零点为函数y＝lnx与y＝4﹣x的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为（x2，lnx2），
又由函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，
其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝4﹣x也关于直线y＝x对称，
则点（x1，）和（x2，lnx2）也关于直线y＝x对称，
则有x1＝lnx2，
则有ex1+lnx2＝ex1+x1＝4，
故选：D．

【知识点】函数零点的判定定理
6.（2020•沈阳期中）若方程lnx+3x﹣10＝0的解为x0，则不等式x≤x0的最大整数解是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，若方程lnx+3x﹣10＝0的解为x0，则函数f（x）＝lnx+3x﹣10的零点为x0，
而函数f（x）＝lnx+3x﹣10为增函数，
又由f（2）＝ln2+9﹣10＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3+17＞0，
则函数f（x）在（2，3）上存在零点，即2＜x0＜3，
则不等式x≤x0的最大整数解为2；
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
7.（2020•湖州期中）函数的零点在区间（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【解答】解：函数是连续单调增函数，
∵，
，
∴函数f（x）的零点在区间（﹣2，﹣1）．
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
8.（2020•海淀区校级期中）已知函数，若0＜a＜b＜c，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，则下列说法一定正确的是（　　）
A．f（x）有且只一个零点
B．f（x）的零点不在（0，1）内
C．f（x）的零点在（a，b）内
D．f（x）的零点在（c，+∞）内
【解答】解：根据题意，函数，
函数y＝在（0，+∞）上为增函数，而y＝为减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由f（1）＝1﹣0＝1，f（）＝﹣1＜0，则函数f（x）在（，1）上存在1个零点，并且只有1个零点；
若0＜a＜b＜c，则有f（a）＜f（b）＜f（c），
又由f（a）f（b）f（c）＜0，则f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0；
据此分析选项：
对于A，函数f（x）在（，1）上存在1个零点，正确；
对于B，函数f（x）在（，1）上存在1个零点，错误；
对于C，D，不能确定a、b、c的具体值，错误；
故选：A．
【知识点】函数零点的判定定理
9.（2020•洛阳期中）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
C．[0，4] D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【解答】解：根据题意，x2﹣ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）＝x2﹣ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；
若函数f（x）＝x2﹣ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（2）≤0，
即（a+3）（7﹣a）≤0，
解可得：a≤﹣3或a≥7；
若函数f（x）＝x2﹣ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；
综合可得：a≤﹣3或a≥7；
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）；
故选：A．
【知识点】函数零点的判定定理
10.（2020•包河区校级期中）函数y＝的零点所在的区间是（　　）
A．（，1） B．（1，2） C．（e，3） D．（2，e）
【解答】解：∵函数y＝的定义域为（0，+∞），是单调增函数；
而且f（1）＝0﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，
故有f（1）•f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数y＝零点所在区间是（1，2），
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
11.（2020•番禺区校级期中）如果函数y＝f（x）在区间Ⅰ上是减函数，而函数在区间Ⅰ上是增函数，那么称函数y＝f（x）是区间Ⅰ上“缓减函数”，区间Ⅰ叫做“缓减区间”．若函数是区间Ⅰ上“缓减函数”，则下列区间中为函数Ⅰ的“缓减函数区间”的是（　　）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
【解答】解：根据题意，对于，是二次函数，其对称轴为x＝1，在区间（﹣∞，2]上为减函数，
对于y＝＝+﹣2，在区间[﹣，0）和（0，]上为减函数，在区间（﹣∞，﹣]和[，+∞）为增函数，
若函数是区间Ⅰ上“缓减函数”，则f（x）在区间I上是减函数，函数y＝＝+﹣2在区间I上是增函数，
区间I为（﹣∞，﹣]或[，2]；
分析选项可得：[，2]为I的子集；
故选：C．
【知识点】函数的单调性及单调区间
12.（2020•番禺区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数y＝f（x）﹣a，（﹣1＜a＜0）的所有零点之和为（　　）
A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a
【解答】解：作函数f（x）与y＝a的图象如下，

结合图象可知，
函数f（x）与y＝a的图象共有5个交点，
故函数F（x）＝f（x）﹣a有5个零点，
设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，
∴b+c＝2×（﹣3）＝﹣6，e+f＝2×3＝6，
＝a，
故x＝﹣1+2﹣a，即d＝﹣1+2﹣a，
故b+c+d+e+f＝﹣1+2﹣a，
故选：B．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用
13.（2020•东阳市校级期中）若方程有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为（　　）
A．﹣2≤m＜2 B．
C．﹣2≤m＜2或 D．
【解答】解：∵曲线y＝表示半圆 x2+y2＝4（ y≥0），
方程x+m＝有且只有一个实数解，即直线y＝x+m与半圆y＝只有一个交点，
∴利用数形结合可得﹣2≤m＜2或m＝2．
实数m的取值范围是{m|﹣2≤m＜2或m＝2}．
故选：C．

【知识点】函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系
14.（2020•慈利县期中）利用二分法求方程log3x＝3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：设f（x）＝log3x﹣3+x，
∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，
即方程log3x＝3﹣x在区间（a，b）上有解，
又∵f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝log33﹣3+3＝1＞0，
故f（2）•f（3）＜0，
故方程log3x＝3﹣x在区间（2，3）上有解，
故选：C．
【知识点】二分法的定义与应用
15.（2020•湖北期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）＝xf（x）﹣1在[﹣7，+∞）上的所有零点之和为（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）．
又∵函数g（x）＝xf（x）﹣1，
∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）﹣1＝（﹣x）[﹣f（x）]﹣1＝xf（x）﹣1＝g（x），
∴函数g（x）是偶函数，
∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[﹣7，7]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[﹣7，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在[7，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）＝2|x﹣1|﹣1，
即．
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x＝2时，f（x）＝1
又∵当x＞2时，f（x）＝f（x﹣2），
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x＝8时，f（x）＝，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x＝10时，f（x）＝，
故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）＝xf（x）﹣1在（8，10]上无零点
同理g（x）＝xf（x）﹣1在（10，12]上无零点
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点
综上函数g（x）＝xf（x）﹣1在[﹣7，+∞）上的所有零点之和为8
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
16.（2020•济南校级期中）已知函数，且此函数图象过点（1，5），则实数m的值为　　．
【解答】解：因为函数的图象过点（1，5），
所以f（1）＝5，即1+m＝5，
解得m＝4，f（x）＝x+，
故填：4．
【知识点】函数的零点、函数的图象与图象的变换
17.（2020•宝山区校级期中）已知函数y＝kx2+（k+1）x+1，x∈[2，+∞）是单调减函数，则实数k的取值范围是　﹣　　　　　　　．
【解答】解：根据题意，函数y＝kx2+（k+1）x+1，
分2种情况讨论：
当k＝0时，y＝x+1，在R上为增函数，不符合题意；
当k≠0时，函数y＝kx2+（k+1）x+1为二次函数，
若函数y＝kx2+（k+1）x+1，x∈[2，+∞）是单调减函数，则，
解可得：﹣≤k＜0，
综合可得k的取值范围为：﹣≤k＜0；
故答案为：﹣≤k＜0．
【知识点】函数的单调性及单调区间
18.（2020•沭阳县期中）已知函数f（x）＝2x+x﹣5，那么方程f（x）＝0的解所在区间是（n，n+1），则n＝　　．
【解答】解：令f（x）＝2x+x﹣5，则 方程2x+x＝5的解所在的区间就是函数f（x）＝2x+x﹣5的零点所在的区间．
由于f（1）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（2）＝4+2﹣5＝1＞0，
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝2x+x﹣5的零点所在的区间为（1，2），
方程f（x）＝0的解所在区间是（n，n+1），
∴n＝1，
故答案为：1．
【知识点】二分法的定义与应用
19.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为　　．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1）＝2+0＞0，
当x＝0时，20＝1，当→0+时，log3x→﹣∞，
∴f（0）＜0
∴函数f（x）＝2x+log3x的零点一定在区间（0，1），
∴k＝0，
故答案为：0
【知识点】二分法的定义与应用
20.（2020•南城县校级期中）用二分法求方程x3+4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为　　　　　　　　　．
【解答】解：令f（x）＝x3﹣6x2+4，
则f（0）＝4＞0，f（1）＝﹣1＜0，f（）＝＞0，
由f（）f（1）＜0知根所在区间为（，1）．
故答案为：（，1）．
【知识点】二分法的定义与应用
21.（2020•南安市校级期中）二次函数y＝x2+bx+c在区间[2，+∞）上是增函数，则实数b的取值集合是　　　≥﹣　　．
【解答】解：二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝﹣，
由函数在区间[2，+∞）上是增函数，
可得﹣≤2，解得b≥﹣4．
故答案为：{b|b≥﹣4}．
【知识点】函数的单调性及单调区间

22.（2020•西华县校级期中）设函数f（x）＝x3﹣6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y＝a与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）
∴当，
∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当．
（2）由（1）可知y＝f（x）图象的大致形状及走向

∴当的图象有3个不同交点
【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数在某点取得极值的条件
23.（2020•岳麓区校级期中）某纯净水制造厂在净化的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使用水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为多少？
（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
【解答】解：由题意列式（1﹣20%）n＜5%，两边取对数得n＞≈13.4，∴n≥14．
即至少需要过滤的次数为14．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
24.（2020•常州期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元．出厂单价为120元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件．订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购为x件服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？
【解答】解：（1）当0＜x≤100时，P＝120；
当100＜x≤600时，P＝120﹣0.04（x﹣100）＝124﹣…………（4分）
所以P＝……………（5分）
（2）设销售商一次订购量为x件，工厂获得的利润为L元，则有
L＝（P﹣80）x＝…………………．（7分）
当x≤100时，x＝100时最大L＝4000，当100＜x≤600，x∈N时，x＝550时，最大L＝12100，
∵12100＞4000…………．（9分）
∴一次订购550件时获得最大利润，
因此，当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润是12100元．……（10分）
【知识点】根据实际问题选择函数类型
25.（2020•南关区校级期中）经市场调查，某种商品在进价基础上每涨价1元，其销售量就减少10个，已知这种商品进价为40元/个，若按50元一个售出时能卖出500个．
（1）请写出售价x（x＞40）元与利润y元之间的函数关系式；
（2）试计算当售价定为多少元时，获得的利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）由售价为x元，可得该商品每个涨价x﹣50元，
其销售量将减少10（x﹣50）个．
即有利润y＝（10+x﹣50）（500﹣10（x﹣50））
＝10（x﹣40）（100﹣x）
＝10（﹣x2+140x﹣4000）
（2）y＝（10+x﹣50）（500﹣10（x﹣50））
＝10（﹣（x﹣70）2+900），
当x＝70时，y取得最大值，且为9000元．
故每个商品的售价为70元能够使得利润y元最大，
利润的最大值为9000元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
26.（2020•昌江区校级期中）某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底BC与两腰长的和）为y（米）
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）当防洪堤的腰长x为多少米时，断面的外周长y最小？求此时外周长的值．

【解答】解：（1）由梯形面积＝（AD+BC）h，
其中AD＝BC+2×＝BC+x，则h＝x，
∴BC＝﹣
由，得2≤x＜6，
∴．
（2）由 ，
而在单调递减，在单调递增，
当且仅当时函数h（x）取得最小值．
故有在单调递减，在单调递增，
当且仅当时函数h（x）取得最小值．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
27.（2020•沈阳期中）为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加万人．
（1）若要保证该公司月总收入不减少，试求x的取值范围；
（2）为了布局“5G网络”，该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x的值．
（总盈利资金＝总收入资金﹣总投入资金）
【解答】解：（1）根据题意，设该公司的总收入为W万元，
则W＝50（10+）（1﹣），0＜x＜100，
若该公司月总收入不减少，则有50（10+）（1﹣）≥10×50，
解可得：0＜x≤20；
（2）设该公司盈利为y万元，
则y＝50（10+）（1﹣）﹣2（10+）＝﹣+x+480，0＜x＜100，
分析可得：当x＝8时，该公司的总盈利最大．
【知识点】根据实际问题选择函数类型、函数的最值及其几何意义