初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试精品学案设计

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试精品学案设计，共10页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。




【学习目标】


1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；


2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；


3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；


4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.


【知识网络】








【要点梳理】


要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).


要点诠释：


(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；


(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；


2.相似多边形


如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．


要点诠释：


（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．


（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．


要点诠释：


（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）


（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．


要点二、相似三角形


相似三角形的判定:


判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.


判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.


判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.


要点诠释：


此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.


判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.


要点诠释：


要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.


相似三角形的性质：


（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；


（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；


相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.


要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.


(3) 相似三角形周长的比等于相似比；


（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。


3.相似多边形的性质：


（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．


（2）相似多边形的周长比等于相似比．


（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．


要点三、位似


1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．


2.位似图形的性质:


（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；


（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；


（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.


要点诠释：


(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.


（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点


为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.





要点四、黄金分割


1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．











2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．


黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．


要点五、射影定理


在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，


∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）


∴；


；


（射影定理）；


（等积）．





【典型例题】


类型一、相似三角形


1. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？





【答案与解析】


∵AC=a，BC=b，


∴AB=，


①当△ABC∽△BDC时，


,


即.


②当△ABC∽△CDB时，


，


即.


【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.


举一反三


【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度.





【答案】


（1）证明： A与C关于直线MN对称，


∴ACMN，∴∠COM=90°，


在矩形ABCD中，∠B=90°，


∴∠COM=∠B ，


又∠ACB=∠ACB，


∴△COM∽△CBA ，


（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，


∴AC=10 ，∴OC=5，


△COM∽△CBA，


∴，


∴OM=.


2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（ ）


A． B． C． D．








【答案】C；


【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，


再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且


相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.


【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.





类型二、相似三角形的综合应用


3.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．


（1）求证：DE⊥BE；


（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．





【答案与解析】


证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，


∴BO=BD，


∵OE=OB，


∴OE=BD，


∴∠BED=90°，


∴DE⊥BE；





（2）∵OE⊥CD


∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，


∴∠CEO=∠CDE，


∵OB=OE，


∴∠DBE=∠CDE，


∵∠BED=∠BED，


∴△BDE∽△DCE，


∴，


∴BD•CE=CD•DE．


【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．


4. （2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．


（1）求证：△ADF∽△ACG；


（2）若，求的值．





【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．


（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．


【答案与解析】


（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，


∴∠ADF=∠C，


∵=，


∴△ADF∽△ACG．


（2）解：∵△ADF∽△ACG，


∴=，


又∵=，


∴=，


∴=1．


【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．


举一反三：


【变式】（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．


（1）求证：△BDE∽△BAC；


（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．





【答案与解析】


证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，


∴∠C=∠AED=90°，


∴∠DEB=∠C=90°，


∵∠B=∠B，


∴△BDE∽△BAC；


（2）由勾股定理得，AB=10．


由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．


∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，


在Rt△BDE中，由勾股定理得，


DE2+BE2=BD2，


即CD2+42=（8﹣CD）2，


解得：CD=3，


在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，


即32+62=AD2，


解得：AD=．


5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．


（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．


（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．


设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．





【答案与解析】


（1）∵是等边三角形


∴


∵是中点，


∴，


∵，


∴，


∴，


∴，


∴梯形是等腰梯形．


（2）在等边中，


又∵，


∴，


∴，


∴，


∴，


∵ ∴，


∴ ，


∴.


【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.


举一反三


【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．


(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?





【答案】


(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，


所以.


又因为AB=8，AC=6，，，


所以，即，


自变量x的取值范围为.


(2)


.


所以当时，S有最大值，且最大值为6.


类型三、黄金分割


6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．





【答案与解析】


设正方形ABCD的边长为2，


E为BC的中点，


∴BE=1


∴AE=，


又B′E=BE=1，


∴AB′=AE-B′E=-1，


∵AB″=AB′=-1


∴AB″：AB=(-1):2


∴点B″是线段AB的黄金分割点．


【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．


举一反三


【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．


求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．





【答案】


（1）∵∠A=36°，∠C=72°，


∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，


∴∠ABD=36°，


∴△ADB、△BDC是等腰三角形，


∴AD=BD=BC．


（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，


∴△ABC∽△BDC，


∴BC：AC=CD：BC，


∴BC2=AC•DC，


∵BC=AD，


∴AD2=AC•DC，


∴点D是线段AC的黄金分割点．