人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教课ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教课ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了必备知识·素养奠基，前一项，同一个，等比数列，ana1qn-1，关键能力·素养形成，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_______的比都等于_______常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
【思考】 (1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示: =q(n≥2)或 =q(q≠0).
2.等比中项在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_________,那么G叫做a与b的等比中项.
【思考】G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
3.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为________.
【思考】 等比数列的通项公式an=a1qn-1与指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么联系?提示:an=a1·qn-1= ·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)在x=n时的值,即an=f(n).数列{an}图象上的点(n,an)都在指数函数f(x)的图象上.反之指数函数f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列{a·an-1}.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.(　　)(2)若G是a与b的等比中项,则G= . (　　)(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.(　　)
提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.G=± .(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________. 【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b= =4.答案:4
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q,因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n
类型一　等比数列基本量的计算 【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=(　　) 2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=(　　)A.4B.3C.2　D. 3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3= ,则{an}的通项公式an=________. 
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.2.将条件用a1,q表示,消元求公比.3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则 =q3=-8,则q=-2,则a1= 2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以 且q>0,解得a1= ,q=2,所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3= ,所以 两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1= .所以an=3n-2.答案:3n-2
【内化·悟】　计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.
【类题·通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
【习练·破】1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=(　　)A.12B.18C.24D.36【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.
2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1= (　　)A.1B.2C.- D.-1【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,解得a1=1,q=-2.
【加练·固】　　　已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1= =5,故a1=5.
类型二　等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3- ,c=3+ ,则b=(　　)A.2　B.-2C.±2D.42.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(　　)A.2B.4C.6　D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3- )(3+ )=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为an=(n+8)d,又因为 =a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】　等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
　【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.
【习练·破】　-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________. 【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125
【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求 的值.
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d= ×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以 =(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以
类型三　等比数列的判定角度1　利用定义证明等比数列【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.证明:{an+1}是等比数列.【思维·引】证明 为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1= 所以 方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以 .所以 是以 为公比的等比数列.
【素养·探】　在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明: {an+1}是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以 所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2　已知Sn与an的关系证明等比数列【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn= an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求证:{an}是等比数列;(2)求证:{an+1}不是等比数列.【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn= an+b,所以当n≥2时Sn-1= an-1+b,两式相减得Sn-Sn-1= an+b- an-1-b,所以an= an- an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1= a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.
【类题·通】　关于等比数列的证明(1)定义法①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明 或 (n≥2)为常数.②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.(2)等比中项法证明 =an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.
【习练·破】　(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N*.(1)求p的值及数列{an}的通项公式;(2)判断数列{ }和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.因为Sn=p-23-n,所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因为数列{an}为等比数列,所以q= ,所以 所以p=8,a1=4,所以an=4× =23-n;
(2)数列{ }是等比数列,{nan}不是等比数列.证明如下:由(1)得 =(23-n)2=43-n,所以 所以数列{ }是以 为公比的等比数列,由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.
【加练·固】　　　已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn= ,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,故 所以数列{bn}是等比数列.因为b1= 所以bn= ×2n-1=2n-3.
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=(　　)A.15B.24C.32D.64【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为(　　)A.- B.-1C.- 或1D.- 或-1【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以 =2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=- .
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________. 【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:3
4.若等比数列{an}满足a1= ,a2a3=2,则a7=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为等比数列{an}满足a1= ,a2a3=2,所以 q· q2=2,解得q=2,所以a7= ×26=32.答案:32
【新情境·新思维】　已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是(　　)A.ak·ak+1>0B.ak·ak+2>0C.ak·ak+1·ak+2>0D.ak·ak+3>0