选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列精品第1课时练习

这是一份选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列精品第1课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )


A．31 B．32 C．63 D．64


C [在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.]


2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝eq \f(1,8)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )


A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)


C．eq \f(32,3)(1－4－n)D．eq \f(32,3)(1－2－n)


C [∵a3＝1，a6＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2)，∴a1＝4，


∴a1a2＝8，


∵eq \f(anan+1,an-1an) ＝q2＝eq \f(1,4)


∴数列{anan+1}是以8为首项，eq \f(1,4)为公比的等比数列．


∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq \f(32,3)(1－4－n)．]


3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )


A．－2B．－1


C．eq \f(1,2)D．eq \f(2,3)


B [由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝eq \f(3,2)，将q＝eq \f(3,2)代入S2＝3a2＋2中得a1＋eq \f(3,2)a1＝3×eq \f(3,2)a1＋2，解得a1＝－1.故选B. ]


4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和等于( )


A．eq \f(15,8)或5 B．eq \f(31,16)或5 C．eq \f(31,16)D．eq \f(15,8)


C [设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得eq \f(91－q3,1－q)＝eq \f(1－q6,1－q)，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，前5项和为eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(5))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).]


5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )


A．1盏B．3盏


C．5盏D．9盏


B [设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，


∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.


故选B.]


二、填空题


6．在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,2)，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.


2n－1－eq \f(1,2) [由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝eq \f(1,2)(－2)n－1，


∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝eq \f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq \f(1,2).]


7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.


6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，


∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，


又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.]


8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．


6 [由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，


又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]


三、解答题


9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．


(1)求{an}的公比q；


(2)若a1－a3＝3，求Sn.


[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，


由于a1≠0，故2q2＋q＝0.


又q≠0，从而q＝－eq \f(1,2).


(2)由已知可得a1－a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝3，


故a1＝4.


从而Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n))).


10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．


(1)求{an}的通项公式；


(2)记bn＝eq \f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn.


[解] (1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.


(2)bn＝eq \f(an,3n)＝eq \f(3n－2,3n)＝(3n－2)×eq \f(1,3n)，


∴Tn＝1×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,32)＋7×eq \f(1,33)＋…＋(3n－2)×eq \f(1,3n).①


①×eq \f(1,3)得eq \f(1,3)Tn＝1×eq \f(1,32)＋4×eq \f(1,33)＋7×eq \f(1,34)＋…＋(3n－5)×eq \f(1,3n)＋(3n－2)×eq \f(1,3n＋1).②


①－②得，eq \f(2,3)Tn＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,32)＋3×eq \f(1,33)＋3×eq \f(1,34)＋…＋3×eq \f(1,3n)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(\f(1,32)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1))),1－\f(1,3))－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(5,6)－eq \f(1,2)×eq \f(1,3n－1)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)，


∴Tn＝eq \f(5,4)－eq \f(1,4)×eq \f(1,3n－2)－eq \f(3n－2,2)×eq \f(1,3n)＝eq \f(5,4)－eq \f(6n＋5,4)×eq \f(1,3n).





11．(多选题)设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是( )


A．0

C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S7


ABC [∵a1>1，a7a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0，∴a7>1，0

∴0

C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确．


D中因为a7>1，0

12．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是( )





A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq \f(9\r(3),16)


B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq \f(9\r(3),64)


C．n个内切圆的面积和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π


D．n个内切圆的面积和为3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π


BC [S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×32＝eq \f(9\r(3),4)，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的eq \f(1,4)倍，所以第三个正三角形的面积为eq \f(9\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9\r(3),64).故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为eq \f(\r(3),6)×3＝eq \f(\r(3),2)，面积为eq \f(3,4)π，第二个内切圆的半径为eq \f(\r(3),4)，面积为eq \f(3,16)π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为eq \f(3,4)π，公比为eq \f(1,4)，故面积之和为eq \f(\f(3,4)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π，则C正确，D错误．故选BC.]


13．(一题两空)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.


1 121 [由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a2＝3.))由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq \f(3n－1,2)，所以S5＝121.]


14．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．


2eq \f(2,17) 2n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋1 [由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)(x－2)＝5.解得x＝2eq \f(2,17)，即2eq \f(2,17)天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n),1－\f(1,2))＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)，所以Sn＝2n－1＋2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝2n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋1.]





15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.





(1)求数列{xn}的通项公式；


(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.


[解] (1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0.


由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x1q＝3，,x1q2－x1q＝2，))


消去x1得3q2－5q－2＝0.


因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，


因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.


(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．


由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，


记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，


由题意得bn＝eq \f(n＋n＋1,2)×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，


所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn


＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.


①


又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1. ②


①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝eq \f(3,2)＋eq \f(21－2n－1,1－2)－(2n＋1)×2n－1.


所以Tn＝eq \f(2n－1×2n＋1,2).