热点08 数列与不等式-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点08  数列与不等式

【命题趋势】

在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。

对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。

专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。

【满分技巧】

1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。

2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。

3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。

4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。   

【考查题型】选择题、填空、解答题

【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

3．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（     ）

A．23 B．25 C．23或24 D．23或25

4．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a，b为正实数，且，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

7．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数列 的前项和，则（    ）

A． 或 B．

C． D．

10．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（    ）

A．45 B．54 C．99 D．81

11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

12．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n项和，则 （    ）

A． B． C． D．

二、多选题

14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{an}满足：0＜a1＜1，．则下列说法正确的是（    ）

A．数列{an}先增后减 B．数列{an}为单调递增数列

C．an＜3 D．

三、填空题

16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．

17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，.则＝_______.

18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．

19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，__________.

20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则_____

四、解答题

21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，求证：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求的前项和.

23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.