高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用获奖ppt课件

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1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系。（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
【思考】（1）这里的“平面几何问题”主要是哪些问题？提示：平面几何中的全等、相似、平行等问题。
（2）这里的“向量运算”是指什么运算？提示：向量的线性运算。
2.平面向量在物理中的应用（1）物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等。（2）向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解。（3）动量mv是向量的数乘运算。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）若点B是线段AC的中点，则有 （　　）（2）若 ，则直线AB与CD平行。（　　）（3）若 ∥ ，则A，B，C三点共线。（　　）（4）物理学中的功是一个向量。（　　）
提示：（1）√。（2）×。向量 时，直线AB∥CD或AB与CD重合。（3）√。因为 ∥ ， 即 ，共线，且有公共点A，所以A，B，C三点共线。（4）×。功是一个标量，没有方向，不是向量。
2.若向量 =（1，1）， =（-3，-2）分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|为（　　）
【解析】选C。由于F1+F2=（1，1）+（-3，-2）=（-2，-1），所以|F1+F2|=
3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（　　）
【解析】选B。BC中点为所以
类型一　平面向量在几何证明中的应用【典例】1.（2019·河东高一检测）已知点A（2，3），B（-2，6），C（6，6），D（10，3），则以A，B，C，D为顶点的四边形是（　　）
A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形
2.已知平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形
【思维·引】利用向量的线性运算，共线（或相等）的条件、模判断或证明。
【解析】1.选B。因为 =（8，0）， =（8，0），所以 因为 =（4，-3），所以| |=5，而| |=8，故为邻边不相等的平行四边形。
2.由已知可设 所以 因此EH∥FG且EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形。
【素养·探】本例考查利用平面向量证明几何问题，突出体现了逻辑推理、直观想象的核心素养。若把本例2的条件改为：已知四边形ABCD的对角线交点为O，且AO=OC，BO=OD，试证明四边形ABCD是平行四边形。
【证明】由已知得而 所以 ，因此AB∥DC且AB=DC，所以四边形ABCD是平行四边形。
【类题·通】利用向量证明问题（1）常见的利用向量证明的问题①利用共线向量定理证明线段平行或点共线。②利用向量的模证明线段相等。
（2）常用的两个方法①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明。②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明。
【习练·破】若 =3e， =5e，且| |=| |，则四边形ABCD的形状为________。 
【解析】由 =3e， =5e，得 ∥ ，| |≠| |，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC。又| |=| |，得AD=BC，所以四边形ABCD为等腰梯形。答案：等腰梯形
类型二　平面向量在几何求值中的应用【典例】1.已知A（-3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|=2 ，且∠AOC= 。设 （λ∈R），则λ=____________。 
2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，设AC=m，BC=n。（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD= AB。（2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）。
【思维·引】1.由题意画出图形，根据向量线性运算法则对条件“ ”适当转化，再应用向量坐标运算解决。2.利用向量的线性运算及共线向量基本定理解决，也可以利用相似三角形的性质。
【解析】1.过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC= 知，OE=CE=2，所以即 所以（-2，0）=λ（-3，0），故λ= 。答案：
2.（1）以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A（0，m），B（n，0）。
因为D为AB的中点，所以D 所以 所以
（2）因为E为CD的中点，所以E 设F（x，0），则 =（x，-m）。因为A，E，F三点共线，所以
即（x，-m）=λ 则故λ= ，即x= ，所以F ，所以即AF=
【类题·通】1.向量相等的应用：由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a=（x1，y1），b=（x2，y2），a=b⇔x1=x2且y1=y2。利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解。
2.利用平面向量的线性运算及共线向量基本定理，可以解决平面几何的求值问题，当然也可以利用证明三角形全等或相似来解决。
【习练·破】如图所示，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求 的坐标。
【解析】因为A（7，8），B（3，5），C（4，3），所以 =（3-7，5-8）=（-4，-3）， =（4-7，3-8）=（-3，-5）。又因为D是BC的中点，所以
因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，
类型三　平面向量在物理中的应用【典例】已知三个力f1=（-2，-1），f2=（-3，2），f3=（4，-3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4的大小为________。 【思维·引】可利用f1+f2+f3+f4=0求解。
【解析】由物理知识知f1+f2+f3+f4=0，故f4=-（f1+f2+f3）=（1，2），所以|f4|= 答案：
【内化·悟】怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题？提示：把其转化为平面向量问题，利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决。
【类题·通】用向量方法解决物理问题的步骤（1）把物理问题中的相关量用向量表示。（2）转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决。（3）结果还原为物理问题。
【习练·破】1.甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂直线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是（　　）
【解析】选D。|F甲|∶|F乙|=cs 30°∶cs 60°= ∶1。
2.点P在平面上做匀速直线运动，速度v=（4，-3），设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后点P的坐标为（速度单位：m/s，长度单位：m）（　　）A.（-2，4）B.（-30，25）C.（10，-5）D.（5，-10）
【解析】选C。5秒后点P的坐标为（-10，10）+5（4，-3）=（10，-5）。
【加练·固】用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________。