2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.2热点小专题一函数的零点及函数的应用学案含解析

2.2　热点小专题一、函数的零点及函数的应用

必备知识精要梳理

1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.

2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.

3.判断函数零点个数的方法:

(1)利用零点存在性定理判断法;

(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;

(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.

关键能力学案突破

【例1】(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是(　　)

A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

(2)(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为(　　)

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

【对点训练1】设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是              (　　)

A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1) D.(1,e)

【例2】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解题心得判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:

(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;

(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;

(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.

【对点训练2】(2020山东滨州二模改编,16)设f(x)是定义在R上且周期为6的周期函数,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)在区间[-n,n](其中n∈N*)上的零点的个数的最小值为an,则a11=　　　　　. 

【例3】(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)=当x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为　　　　　,设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.

【对点训练3】(2020山东淄博4月模拟,7)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)

A.[-1,0) B.[-1,+∞)

C.[0,+∞) D.[1,+∞)

【例4】(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

解题心得解决函数应用问题的步骤

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.

【对点训练4】(2020全国Ⅲ,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A.60 B.63 C.66 D.69

核心素养微专题(一)

例析“逻辑推理”在函数零点问题上的应用

【例1】已知函数f(x)=设g(x)=kx+1,且函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为　　　　　. 

核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:

函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限等价于φ(x)在x>0和x<0时函数值有正有负,若φ(x)连续,则在y轴两侧有变号的零点,即f(x)与g(x)的图象在y轴两侧存在交点,且在交点处一个函数的图象穿过了另一个函数的图象.抓住临界情形:当k>0时,过定点(0,1)的直线g(x)要在y轴左侧有交点,则k<当k=,且x<0时,f(x)≥g(x)恒成立,φ(x)不过第三象限,即此时k∈;当k<0时,过定点(0,1)的直线要在y轴右侧有交点,则k>-9(当k=-9时,直线g(x)与曲线f(x)相切,同样k=-9不符合题意),即k∈(-9,0);k=0也符合题意.综上可知,k∈.

【例2】已知函数f(x)=若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是　　　　　. 

核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:

函数f(x)=的零点⇔f(x)=x3-3|x-a|-a的零点(分段函数⇒一般函数)⇔方程x3=3|x-a|+a的根⇔函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标(零点⇒交点).所以由题意知,能让函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标是负数的,a的取值满足题意.

画图:y=3|x-a|+a是顶点(a,a)在第一、三象限角平分线上“移动”,且开口向上的“V字形”,

当a≥0时,因为3|x-a|+a>0,所以不符合题意,

当a<0时,若x≥a,则有x3=3x-2a,若x<a,则有x3=-3x+4a,

由图可知只需讨论射线y=3x-2a,x≥a与y=x3相切的临界情形即可.

设切点为(m,n)(m<0),由y=x3,得y'=3x2,所以有3m2=3,得m=-1,所以n=(-1)3=-1,

将切点坐标(-1,-1)代入直线方程y=3x-2a,得a=-1.从而a的取值范围是[-1,0).

【跟踪训练】(2019浙江,9)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则(　　)

A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

2.2　热点小专题一、函数的

零点及函数的应用

关键能力·学案突破

【例1】(1)B　(2)C　解析(1)由图象知<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b,

所以g(x)=ex+f'(x)=ex+2x-b,

则g(-1)=-2-b<0,g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,

所以g(0)g(1)<0.故选B.

(2)因f(x)在(0,+∞)上单调,且f([f(x)-log2x])=3,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,

又由f(t)=3,∴f(t)=log2t+t=3,观察易知t=2,所以f(x)=log2x+2,

所以g(x)=log2x+x-5,因为g(3)<0,g(4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).

对点训练1D　解析令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.

又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.

故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=,x>0.所以f(x)-f'(x)=lnx-+e.

令g(x)=lnx-+e-e=lnx-,x∈(0,+∞).因为g(x)=lnx-在(0,+∞)内的图象是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1->0,所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.

【例2】B　解析函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,画出g(x),h(x)的图象如图所示.

因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.故选B.

对点训练27　解析由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得y=f(x)为奇函数,易知f(0)=0.

可令x=-3,则f(-3+6)=f(-3),

即f(3)=f(-3)=-f(3),

可得f(-3)=f(3)=0,

当n=1,2时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0;

当n=3,4,5时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0;

当n=6,7,8时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0;

当n=9,10,11时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0,f(9)=f(-9)=0,即a11=7.

【例3】-4　　解析当x∈[1,e]时,f(x)=lnx,f(x)为增函数,

所以,f(x)min=f(1)=ln1=0,当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,

令f'(x)=6x2-6x=0,解得x1=1(舍)或x2=0,

且有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,

因为f(-1)=-2-3+1=-4<f(1),

故函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4;

令t=f(x),由g(x)=0,得t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示:

直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0<t<1,

即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不等实根,

亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点,

因为y=t2-t=,根据y=t2-t的图象可知,-<-a<0,

即实数a的取值范围为0<a<

对点训练3B　解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从函数图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选B.

【例4】B　解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,

∴r==0.38,∴e0.38t=2,

即0.38t=ln2,0.38t≈0.69,

∴t1.8(天),故选B.

对点训练4C　解析由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.

核心素养微专题(一)

【例1】

【例2】[-1,0)

跟踪训练C　解析当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,

可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系.

①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.

②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.

③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C.