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2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.3热点小专题二导数的应用学案含解析
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2.3 热点小专题二、导数的应用
必备知识精要梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).
2.常用的导数及求导法则
(1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,(ln x)'=1x,(ax)'=axln a,(logax)'=1xlna.
(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x)[g(x)≠0].
3.函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
关键能力学案突破
热点一
利用导数求曲线的切线
【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x2-ln(-x),则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为( )
A.x-y=0 B.x-y-2=0
C.x+y-2=0 D.3x-y-2=0
(2)(2020全国Ⅲ,理10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x+12
C.y=12x+1 D.y=12x+12
解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=f'(x0),再由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则k=f'(x0)=y0-bx0-a,y0=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.
【对点训练1】(1)(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
(2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 .
热点二
已知曲线的切线方程求参数的值
【例2】(2020天津河北区线上测试,17)已知函数f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a= ,b= .
解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.
【对点训练2】若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a= .
热点三
求参数的取值范围(多维探究)
类型一 已知函数单调性求参数范围
【例3】(1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
(2)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 .
解题心得利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
【对点训练3】(1)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在区间(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.-1,13
C.-13,13 D.-1,-13
(2)设f(x)=ex(ln x-a),若函数f(x)在区间1e,e上单调递减,则实数a的取值范围为 .
类型二 已知极值、最值或恒成立求参数范围
【例4】(1)(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f(x)=lnxx2,若f(x)
(2)函数f(x)=ln x+12x2-ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.52,3 B.52,103
C.52,103 D.2,103
解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.
【对点训练4】设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
类型三 已知函数零点情况求参数值或范围
【例5】已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+aln x,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为 .
解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路
(1)讨论函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为讨论函数y=g(x)与y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.
(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.
【对点训练5】已知函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=2eln x+mx的图象有4个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,0) B.12,2
C.0,12 D.(0,2)
热点四
利用导数求实际问题中的最值
【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万斤 B.6万斤
C.3万斤 D.5万斤
(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为 cm.
核心素养微专题(二)
例析“数学建模”在导数研究函数中的应用
【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为( )
A.1 B.2+ln 2
C.2-ln 2 D.2
核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,即用某一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,研究函数模型得出最值.
【例2】(2020安徽马鞍山二模,12)已知函数f(x)的定义域为-π2,π2,f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则关于x的不等式f(x)<2fπ4cos x的解集为( )
A.-π2,π4
B.-π4,π4
C.π4,π2
D.-π2,-π4∪π4,π2
核心素养分析要求不等式f(x)<2fπ4cosx的解集,因题目条件中并没有f(x)的解析式,所以必须要构建一个函数模型,通过该函数模型的单调性解不等式.构建函数模型的依据是条件f'(x)cosx+f(x)sinx<0,由“直观想象”得g(x)=f(x)cosx,但g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx不合题意,能改变符号的是相除求导,所以构建的函数模型是g(x)=f(x)cosx.
2.3 热点小专题二、导数的应用
关键能力·学案突破
【例1】(1)A (2)D 解析(1)当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-lnx,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-lnx,f(1)=1,所以f'(x)=2x-1x,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A.
(2)由y=x得y'=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),
即12x0x-y+12x0=0,
由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.
对点训练1(1)B (2)y=ex-2e
解析(1)对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
(2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x(x<0),故f'(1)=f'(-1)=e,f(1)=-f(-1)=-e,故切线为y+e=e(x-1),即y=ex-2e.
【例2】1 -1 解析将点(e,f(e))代入y=3x-e得f(e)=3e-e=2e,
∵f(x)=axlnx-bx,则f'(x)=alnx+a-b,
由题意得f(e)=(a-b)e=2e,f'(e)=2a-b=3,解得a=1,b=-1.
对点训练2-1 解析f'(x)=1-ax,f'(1)=1-ax=1-a,
由题意得1-a=2,解得a=-1.
【例3】(1)D (2)(-∞,-2-2ln 2)
解析(1)由f'(x)=k-1x,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,
即k≥1x在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<1x<1,故k≥1.故选D.
(2)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.当x∈(-∞,-ln2)时,函数g(x)=2x-4ex单调递增;当x∈(-ln2,+∞)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.
对点训练3(1)C (2)[e-1,+∞)
解析(1)由题意可知,
f'(x)=1-23cos2x+acosx
=-43cos2x+acosx+53.
因为f(x)在R上单调递增,
所以f'(x)=-43cos2x+acosx+53≥0在R上恒成立.
(方法一)则由题意可得,当cosx=1时,f'(x)≥0,
当cosx=-1时,f'(x)≥0,
即-43+a+53≥0,-43-a+53≥0,
解得-13≤a≤13.
(方法二)令t=cosx∈[-1,1],
当t=0时,53>0恒成立;
当0
则h'(t)=43+53t2>0,
所以h(t)在(0,1]上单调递增.
所以h(t)max=h(1)=-13.
所以a≥-13.
当-1≤t<0时,a≤43t-53t.
令g(t)=43t-53t,
则g'(t)=43+53t2>0,
所以g(t)在[-1,0)上单调递增.
所以g(t)min=g(-1)=13,
所以a≤13.综上,-13≤a≤13.
(2)由题意可得f'(x)=exlnx+1x-a≤0在1e,e上恒成立.因为ex>0,所以只需lnx+1x-a≤0,
即a≥lnx+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1x.
因为g'(x)=1x-1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,
g1e=ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,
所以g(x)max=g1e=e-1.
故a的取值范围为[e-1,+∞).
【例4】(1)B (2)B 解析(1)若f(x)
当00;当x>e-12时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,e-12)上单调递增,在(e-12,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g(e-12)=e2,
所以实数m的取值范围是m>e2.故选B.
(2)∵f(x)=lnx+12x2-ax(x>0),
∴f'(x)=1x+x-a(x>0).
∵函数f(x)=lnx+12x2-ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,∴y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f'(x)=1x+x-a=0,得a=1x+x.
令g(x)=1x+x,x∈12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=103.
结合函数g(x)=1x+x,x∈12,3的图象可得,当52≤a<103时,y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为52,103.故选B.
对点训练4C 解析∵x0是f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即πm·3·cosπx0m=0,
得πmx0=kπ+π2,k∈Z,即x0=mk+12m,k∈Z.
∴x02+[f(x0)]2
要使原问题成立,只需存在k∈Z,使1-3m2>k+122成立即可.
又k+122的最小值为14,
∴1-3m2>14,解得m<-2或m>2.故选C.
【例5】(1,+∞) 解析函数g(x)的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x∈(0,+∞)内的图象,
当a≤0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两者的图象最多只有一个交点,不符合题意.
当a>0时,设φ(x)=f(x)-g(x),
即φ(x)=x2-2ax-alnx+a,00,x≥a,
所以φ(x)在(0,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,
所以φ(x)min=-a2-alna+a,
因为x→0,x→+∞时,φ(x)→+∞,
所以φ(x)有两个零点当且仅当φ(x)min=-a2-alna+a<0,解得a>1,即a的取值范围为(1,+∞).
对点训练5C 解析函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,
即为mx=x22x-2elnx-2elnx,即m=x2x-2elnx-2elnxx(x>0且x≠e)有4个不相等的实根.
设h(x)=x2x-2elnx-2elnxx,则h'(x)=2e-2elnx(2x-2elnx)2-2e-2elnxx2.
由h'(x)=0,可得x=2elnx或3x=2elnx或x=e(舍去).
由y=lnxx的导数为y'=1-lnxx2,当x>e时,函数单调递减;当0
当x=2elnx,可得m=0,即为h(x)的最小值,由x→+∞,lnxx→0,可得x2x-2elnx-2elnxx=12-2e·lnxx-2elnxx→12,可得当00且x≠e)有4个不等实根,故选C.
【例6】解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.
由140O'A2=160,得O'A=80.所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,
EF=160-y2=160+1800x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),
则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
对点训练6(1)B (2)10 解析(1)设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x,x∈(0,8],即g(x)=-18x3+916ax2-1,当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.
(2)设EF=xcm,则AE=BF=30-x2cm,包装盒的高为GE=22xcm,
因为AE=AH=30-x2cm,A=π2,
所以包装盒的底面边长为HE=22(30-x)cm,所以包装盒的体积为V(x)=22(30-x)2·22x=24(x3-60x2+900x),0
核心素养微专题(二)
【例1】D 解析设f(x1)=g(x2)=t,
所以x1=t-1,x2=et,
所以x2-x1=et-t+1,
令h(t)=et-t+1,
则h'(t)=et-1,
所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以h(t)min=h(0)=2.
【例2】C 解析函数f(x)的定义域为-π2,π2,不等式f(x)<2fπ4cosx,即f(x)cosx
∵f'(x)cosx+f(x)sinx<0,
∴g'(x)=f'(x)cos+f(x)sinxcos2x<0,∴函数g(x)在x∈-π2,π2上单调递减.∵f(x)cosx
必备知识精要梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).
2.常用的导数及求导法则
(1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,(ln x)'=1x,(ax)'=axln a,(logax)'=1xlna.
(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x)[g(x)≠0].
3.函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
关键能力学案突破
热点一
利用导数求曲线的切线
【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x2-ln(-x),则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为( )
A.x-y=0 B.x-y-2=0
C.x+y-2=0 D.3x-y-2=0
(2)(2020全国Ⅲ,理10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x+12
C.y=12x+1 D.y=12x+12
解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=f'(x0),再由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则k=f'(x0)=y0-bx0-a,y0=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.
【对点训练1】(1)(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
(2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 .
热点二
已知曲线的切线方程求参数的值
【例2】(2020天津河北区线上测试,17)已知函数f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a= ,b= .
解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.
【对点训练2】若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a= .
热点三
求参数的取值范围(多维探究)
类型一 已知函数单调性求参数范围
【例3】(1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
(2)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 .
解题心得利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
【对点训练3】(1)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在区间(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.-1,13
C.-13,13 D.-1,-13
(2)设f(x)=ex(ln x-a),若函数f(x)在区间1e,e上单调递减,则实数a的取值范围为 .
类型二 已知极值、最值或恒成立求参数范围
【例4】(1)(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f(x)=lnxx2,若f(x)
(2)函数f(x)=ln x+12x2-ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.52,3 B.52,103
C.52,103 D.2,103
解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.
【对点训练4】设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
类型三 已知函数零点情况求参数值或范围
【例5】已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+aln x,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为 .
解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路
(1)讨论函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为讨论函数y=g(x)与y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.
(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.
【对点训练5】已知函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=2eln x+mx的图象有4个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,0) B.12,2
C.0,12 D.(0,2)
热点四
利用导数求实际问题中的最值
【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万斤 B.6万斤
C.3万斤 D.5万斤
(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为 cm.
核心素养微专题(二)
例析“数学建模”在导数研究函数中的应用
【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为( )
A.1 B.2+ln 2
C.2-ln 2 D.2
核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,即用某一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,研究函数模型得出最值.
【例2】(2020安徽马鞍山二模,12)已知函数f(x)的定义域为-π2,π2,f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则关于x的不等式f(x)<2fπ4cos x的解集为( )
A.-π2,π4
B.-π4,π4
C.π4,π2
D.-π2,-π4∪π4,π2
核心素养分析要求不等式f(x)<2fπ4cosx的解集,因题目条件中并没有f(x)的解析式,所以必须要构建一个函数模型,通过该函数模型的单调性解不等式.构建函数模型的依据是条件f'(x)cosx+f(x)sinx<0,由“直观想象”得g(x)=f(x)cosx,但g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx不合题意,能改变符号的是相除求导,所以构建的函数模型是g(x)=f(x)cosx.
2.3 热点小专题二、导数的应用
关键能力·学案突破
【例1】(1)A (2)D 解析(1)当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-lnx,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-lnx,f(1)=1,所以f'(x)=2x-1x,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A.
(2)由y=x得y'=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),
即12x0x-y+12x0=0,
由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.
对点训练1(1)B (2)y=ex-2e
解析(1)对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
(2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x(x<0),故f'(1)=f'(-1)=e,f(1)=-f(-1)=-e,故切线为y+e=e(x-1),即y=ex-2e.
【例2】1 -1 解析将点(e,f(e))代入y=3x-e得f(e)=3e-e=2e,
∵f(x)=axlnx-bx,则f'(x)=alnx+a-b,
由题意得f(e)=(a-b)e=2e,f'(e)=2a-b=3,解得a=1,b=-1.
对点训练2-1 解析f'(x)=1-ax,f'(1)=1-ax=1-a,
由题意得1-a=2,解得a=-1.
【例3】(1)D (2)(-∞,-2-2ln 2)
解析(1)由f'(x)=k-1x,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,
即k≥1x在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<1x<1,故k≥1.故选D.
(2)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.当x∈(-∞,-ln2)时,函数g(x)=2x-4ex单调递增;当x∈(-ln2,+∞)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.
对点训练3(1)C (2)[e-1,+∞)
解析(1)由题意可知,
f'(x)=1-23cos2x+acosx
=-43cos2x+acosx+53.
因为f(x)在R上单调递增,
所以f'(x)=-43cos2x+acosx+53≥0在R上恒成立.
(方法一)则由题意可得,当cosx=1时,f'(x)≥0,
当cosx=-1时,f'(x)≥0,
即-43+a+53≥0,-43-a+53≥0,
解得-13≤a≤13.
(方法二)令t=cosx∈[-1,1],
当t=0时,53>0恒成立;
当0
则h'(t)=43+53t2>0,
所以h(t)在(0,1]上单调递增.
所以h(t)max=h(1)=-13.
所以a≥-13.
当-1≤t<0时,a≤43t-53t.
令g(t)=43t-53t,
则g'(t)=43+53t2>0,
所以g(t)在[-1,0)上单调递增.
所以g(t)min=g(-1)=13,
所以a≤13.综上,-13≤a≤13.
(2)由题意可得f'(x)=exlnx+1x-a≤0在1e,e上恒成立.因为ex>0,所以只需lnx+1x-a≤0,
即a≥lnx+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1x.
因为g'(x)=1x-1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,
g1e=ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,
所以g(x)max=g1e=e-1.
故a的取值范围为[e-1,+∞).
【例4】(1)B (2)B 解析(1)若f(x)
当0
所以g(x)在(0,e-12)上单调递增,在(e-12,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g(e-12)=e2,
所以实数m的取值范围是m>e2.故选B.
(2)∵f(x)=lnx+12x2-ax(x>0),
∴f'(x)=1x+x-a(x>0).
∵函数f(x)=lnx+12x2-ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,∴y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f'(x)=1x+x-a=0,得a=1x+x.
令g(x)=1x+x,x∈12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=103.
结合函数g(x)=1x+x,x∈12,3的图象可得,当52≤a<103时,y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为52,103.故选B.
对点训练4C 解析∵x0是f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即πm·3·cosπx0m=0,
得πmx0=kπ+π2,k∈Z,即x0=mk+12m,k∈Z.
∴x02+[f(x0)]2
要使原问题成立,只需存在k∈Z,使1-3m2>k+122成立即可.
又k+122的最小值为14,
∴1-3m2>14,解得m<-2或m>2.故选C.
【例5】(1,+∞) 解析函数g(x)的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x∈(0,+∞)内的图象,
当a≤0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两者的图象最多只有一个交点,不符合题意.
当a>0时,设φ(x)=f(x)-g(x),
即φ(x)=x2-2ax-alnx+a,0
所以φ(x)在(0,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,
所以φ(x)min=-a2-alna+a,
因为x→0,x→+∞时,φ(x)→+∞,
所以φ(x)有两个零点当且仅当φ(x)min=-a2-alna+a<0,解得a>1,即a的取值范围为(1,+∞).
对点训练5C 解析函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,
即为mx=x22x-2elnx-2elnx,即m=x2x-2elnx-2elnxx(x>0且x≠e)有4个不相等的实根.
设h(x)=x2x-2elnx-2elnxx,则h'(x)=2e-2elnx(2x-2elnx)2-2e-2elnxx2.
由h'(x)=0,可得x=2elnx或3x=2elnx或x=e(舍去).
由y=lnxx的导数为y'=1-lnxx2,当x>e时,函数单调递减;当0
当x=2elnx,可得m=0,即为h(x)的最小值,由x→+∞,lnxx→0,可得x2x-2elnx-2elnxx=12-2e·lnxx-2elnxx→12,可得当0
【例6】解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.
由140O'A2=160,得O'A=80.所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,
EF=160-y2=160+1800x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),
则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
对点训练6(1)B (2)10 解析(1)设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x,x∈(0,8],即g(x)=-18x3+916ax2-1,当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.
(2)设EF=xcm,则AE=BF=30-x2cm,包装盒的高为GE=22xcm,
因为AE=AH=30-x2cm,A=π2,
所以包装盒的底面边长为HE=22(30-x)cm,所以包装盒的体积为V(x)=22(30-x)2·22x=24(x3-60x2+900x),0
核心素养微专题(二)
【例1】D 解析设f(x1)=g(x2)=t,
所以x1=t-1,x2=et,
所以x2-x1=et-t+1,
令h(t)=et-t+1,
则h'(t)=et-1,
所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以h(t)min=h(0)=2.
【例2】C 解析函数f(x)的定义域为-π2,π2,不等式f(x)<2fπ4cosx,即f(x)cosx
∵f'(x)cosx+f(x)sinx<0,
∴g'(x)=f'(x)cos+f(x)sinxcos2x<0,∴函数g(x)在x∈-π2,π2上单调递减.∵f(x)cosx
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