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第01讲 集合的概念与运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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第 1 讲:集合的概念与运算
一、 课程标准
1、通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
2、.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.了解全集与空集的含义.
3、.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
二、 基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA。
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B。
(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算
(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
4、集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A。
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A。A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A。
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)。
5、相关结论:
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个。
(2)不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.
三、 自主热身、归纳总结
1、已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】 因为A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5},故选C.
2、已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
【答案】D
【解析】 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)={x|0
3、已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|0
A.[-1,4] B.(0,3]
C.(-1,0]∪(1,4] D.[-1,0]∪(1,4]
【答案】A
【解析】 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以A∪B={x|-1≤x≤4}.
4、已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=________.
【答案】 {1,3}
【解析】 由A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5},因此A∩B={1,3}.
5、已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
【答案】(-∞,1]
【解析】∵1∉{x|x2-2x+a>0},
∴1∈{x|x2-2x+a≤0},
即1-2+a≤0,∴a≤1.
6、(多选题)已知全集,集合,满足,则下列选项正确的有
A. B. C. D.
【答案】B、D
【解析】,,,,,
7、(多选题)已知集合,,.若,则实数的值可能是
A. B.1 C.2 D.5
【答案】、A、B
【解答】解:,
,
四、 例题选讲、变式突破
考点一 集合的基本概念
例1、已知集合A=,则集合A的子集的个数为( )
A. 7 B. 8 C. 15 D.16
【答案】B
【解析】由≤0,可得(x+1)(x-2)≤0,且x≠2,解得-1≤x<2.又x∈Z,可得x=-1,0,1,∴A={-1,0,1}.∴集合A的子集的个数为23=8.
【变式1】若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的取值为0或.
【变式2】设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
【答案】选C
【解析】因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故选C.
【变式3】已知P={x|2
【答案】(5,6]
【解析】因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5
方法总结:
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考点2、集合间的基本关系
例2、已知集合M=,集合N=,则( )
A.M∩N=∅ B.M⊆N
C.N⊆M D.M∪N=M
【答案】B
【解析】由题意可知,M=
=,
N=,
所以M⊆N,故选B。
例3、已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
【答案】(-∞,4]
【解析】当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2
综上,m的取值范围为(-∞,4].
【变式】已知集合A={x|-1
【答案】(-∞,1]
【解析】当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>0时,因为A={x|-1
若B⊆A,在数轴上标出两集合,如图,
所以所以0
综上所述,m的取值范围为(-∞,1].
方法总结(1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
考点三:集合的运算
例4、若集合A={x|2x2-9x>0},B={y|y≥2},则A∩B=________,(∁RA)∪B=________.
【答案】 [0,+∞)
【解析】(2)因为A={x|2x2-9x>0}=,所以∁RA=,又B={y|y≥2},所以A∩B=,(∁RA)∪B=[0,+∞).
【变式1】设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是________.
【答案】1
【解析】由≤2x≤16,x∈N,
∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}.
又x2-3x>0,知B={x|x>3或x<0},
∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素.
【变式2】已知集合M={x|-4
A.{x|-4
C.{x|-2
【答案】C
【解析】方法一:因为N={x|-2
方法二:由通解可得N={x|-2
因为2.5∉M,所以2.5∉M∩N,排除D,故选C。
【变式3】已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1
C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
【答案】B
【解析】方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B。
方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B。
【规律方法】集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解;
②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
例5、设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是________.
【答案】 (-∞,-1]∪{1}
【解析】因为A={0,-4},A∩B=B,所以B⊆A,分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1。
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}。
【变式】已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【答案】[-2,2)
【解析】:①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2
②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-,此时B=,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
方法总结:利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;
②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
考点五:集合的新定义问题
例6、.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3
C.7 D.31
【答案】B
【解析】:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},,.
【变式】.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
【答案】②
【解析】:①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但3k+k∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
方法总结:正确理解新定义:耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口。
五、优化提升与真题演练
1、设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=________.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知A=(1,3),B=,所以A∩B=.
2、设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,4} B.{1,5}
C.{2,5} D.{2,4}
【答案】D
【解析】 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
3、已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,所以,故选B。
4、若全集0,1,,,则
A. B. C. D.1,
【答案】B
【解析】全集0,1,,
,
则。
5、已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵∴,∴,
又,∴,故选A。
6、设集合,则(A∩C)∪B=( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为A∩C={1,2},故(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D。
7、已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
【答案】C
【解析】由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.
8、已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M=;
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=ex-2};
④M={(x,y)|y=sinx+1}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①④ B.②③
C.③④ D.②④
【答案】C
【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),则由x1x2+y1y2=0得OA⊥OB.对于①,对任意A∈M,不存在B∈M,使得OA⊥OB.对于②,当A为点(1,0)时,不存在B∈M满足题意.对于③④,对任意A∈M,过原点O可作直线OB⊥OA,它们都与函数y=ex-2及y=sinx+1的图象相交,即③④满足题意,故选C。
9、(多选题)已知第一象限角,锐角,小于的角,那么、、关系是
A. B. C. D.
【答案】B、C.
【解析】 “小于的角”和“第一象限角”都包含“锐角”,
,
,;
“小于的角“里边有”第一象限角”,从而.
10、已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
【答案】2
【解析】集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
11、.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________.
【答案】[-1,0)
【解析】由x(x+1)>0,得x<-1或x>0,
∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞),
∴A-B=[-1,0).
12、已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m+n=________.
【答案】0
【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5
由A∩B=(-1,n)可知m<1,
则B={x|m
所以m+n=0.
13(2019年江苏高考)、已知集合,,则_____.
【答案】.
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题知,.本题主要考查交集的运算,属于基础题.
14(2018年江苏高考)、.已知集合,,那么________.
【答案】{1,8}.
【解析】根据交集定义求结果.由题设和交集的定义可知:.
一、 课程标准
1、通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
2、.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.了解全集与空集的含义.
3、.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
二、 基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA。
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B。
(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算
(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
4、集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A。
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A。A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A。
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)。
5、相关结论:
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个。
(2)不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.
三、 自主热身、归纳总结
1、已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】 因为A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5},故选C.
2、已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
【解析】 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)={x|0
C.(-1,0]∪(1,4] D.[-1,0]∪(1,4]
【答案】A
【解析】 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以A∪B={x|-1≤x≤4}.
4、已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=________.
【答案】 {1,3}
【解析】 由A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5},因此A∩B={1,3}.
5、已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
【答案】(-∞,1]
【解析】∵1∉{x|x2-2x+a>0},
∴1∈{x|x2-2x+a≤0},
即1-2+a≤0,∴a≤1.
6、(多选题)已知全集,集合,满足,则下列选项正确的有
A. B. C. D.
【答案】B、D
【解析】,,,,,
7、(多选题)已知集合,,.若,则实数的值可能是
A. B.1 C.2 D.5
【答案】、A、B
【解答】解:,
,
四、 例题选讲、变式突破
考点一 集合的基本概念
例1、已知集合A=,则集合A的子集的个数为( )
A. 7 B. 8 C. 15 D.16
【答案】B
【解析】由≤0,可得(x+1)(x-2)≤0,且x≠2,解得-1≤x<2.又x∈Z,可得x=-1,0,1,∴A={-1,0,1}.∴集合A的子集的个数为23=8.
【变式1】若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的取值为0或.
【变式2】设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
【答案】选C
【解析】因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故选C.
【变式3】已知P={x|2
【解析】因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考点2、集合间的基本关系
例2、已知集合M=,集合N=,则( )
A.M∩N=∅ B.M⊆N
C.N⊆M D.M∪N=M
【答案】B
【解析】由题意可知,M=
=,
N=,
所以M⊆N,故选B。
例3、已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
【解析】当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2
【变式】已知集合A={x|-1
【解析】当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>0时,因为A={x|-1
所以所以0
方法总结(1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
考点三:集合的运算
例4、若集合A={x|2x2-9x>0},B={y|y≥2},则A∩B=________,(∁RA)∪B=________.
【答案】 [0,+∞)
【解析】(2)因为A={x|2x2-9x>0}=,所以∁RA=,又B={y|y≥2},所以A∩B=,(∁RA)∪B=[0,+∞).
【变式1】设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是________.
【答案】1
【解析】由≤2x≤16,x∈N,
∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}.
又x2-3x>0,知B={x|x>3或x<0},
∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素.
【变式2】已知集合M={x|-4
【解析】方法一:因为N={x|-2
【变式3】已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1
【答案】B
【解析】方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B。
方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B。
【规律方法】集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解;
②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
例5、设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是________.
【答案】 (-∞,-1]∪{1}
【解析】因为A={0,-4},A∩B=B,所以B⊆A,分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1。
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}。
【变式】已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【答案】[-2,2)
【解析】:①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-,此时B=,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
方法总结:利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;
②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
考点五:集合的新定义问题
例6、.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3
C.7 D.31
【答案】B
【解析】:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},,.
【变式】.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
【答案】②
【解析】:①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但3k+k∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
方法总结:正确理解新定义:耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口。
五、优化提升与真题演练
1、设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=________.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知A=(1,3),B=,所以A∩B=.
2、设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,4} B.{1,5}
C.{2,5} D.{2,4}
【答案】D
【解析】 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
3、已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,所以,故选B。
4、若全集0,1,,,则
A. B. C. D.1,
【答案】B
【解析】全集0,1,,
,
则。
5、已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵∴,∴,
又,∴,故选A。
6、设集合,则(A∩C)∪B=( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为A∩C={1,2},故(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D。
7、已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
【答案】C
【解析】由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.
8、已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M=;
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=ex-2};
④M={(x,y)|y=sinx+1}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①④ B.②③
C.③④ D.②④
【答案】C
【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),则由x1x2+y1y2=0得OA⊥OB.对于①,对任意A∈M,不存在B∈M,使得OA⊥OB.对于②,当A为点(1,0)时,不存在B∈M满足题意.对于③④,对任意A∈M,过原点O可作直线OB⊥OA,它们都与函数y=ex-2及y=sinx+1的图象相交,即③④满足题意,故选C。
9、(多选题)已知第一象限角,锐角,小于的角,那么、、关系是
A. B. C. D.
【答案】B、C.
【解析】 “小于的角”和“第一象限角”都包含“锐角”,
,
,;
“小于的角“里边有”第一象限角”,从而.
10、已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
【答案】2
【解析】集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
11、.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________.
【答案】[-1,0)
【解析】由x(x+1)>0,得x<-1或x>0,
∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞),
∴A-B=[-1,0).
12、已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m+n=________.
【答案】0
【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5
则B={x|m
所以m+n=0.
13(2019年江苏高考)、已知集合,,则_____.
【答案】.
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题知,.本题主要考查交集的运算,属于基础题.
14(2018年江苏高考)、.已知集合,,那么________.
【答案】{1,8}.
【解析】根据交集定义求结果.由题设和交集的定义可知:.
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