第05讲 基本不等式及应用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第 5 讲：基本不等式及应用
一、 课程标准
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
二、 基础知识回顾
1、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．

三、 自主热身、归纳总结
1、若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．18
C．36 D．81
【答案】A
【解析】因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
2．设a>0，则9a＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C　
【解析】因为a>0，所以9a＋≥2 ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.故选C.
3、设a，b为正数，且，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设a，b为正数，且
，当且仅当时取等号，故选C。
4、已知正实数a，b满足，则ab的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】,当且仅当时取等号，
，
，
故ab的最小值为2，故选C。
5、若正数满足，则的最小值为（　　）
A. B.
C. D.3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A。
6、下列不等式的证明过程正确的是（　　）
A．若a＜0，b＜0，则ba+ab≥2ba⋅ab=2
B．若x，y∈R*，则lgx+lgy≥2lgxlgy
C．若x为负实数，则x+4x≥-2x⋅4x=-4
D．若x为负实数，则2x+2-x≥22x⋅2-x≥2
【答案】AD．
【解析】由a＜0，b＜0可得ba＞0，ab＞0，则由基本不等式可得，ba+ab≥2ba⋅ab=2，故A正确；
x，y∈R时，，有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；
若x＜0，则x+4x＜0，C错误；
x＜0时，2x＞0，由基本不等式可得，2x+2﹣x≥2，故D正确．
7、设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（　　）
A．a+b有最小值2（2+1） B．a+b有最大值（2+1）2
C．ab有最大值3+22． D．ab有最小值3+22．
【答案】AD．
【解析】根据a＞1，b＞1，即可得出a+b≥2ab，从而得出ab-2ab≥1，进而得出ab≥2+1，从而得出ab有最小值3+22；同样的方法可得出ab≤(a+b2)2，从而得出（a+b）2﹣4（a+b）≥4，进而解出a+b≥2(2+1)，即得出a+b的最小值为2(2+1)．
∵a＞1，b＞1，
∴a+b≥2ab，当a＝b时取等号，
∴1=ab-(a+b)≤ab-2ab，解得ab≥2+1，
∴ab≥(2+1)2=3+22，
∴ab有最小值3+22；
∵ab≤(a+b2)2，当a＝b时取等号，
∴1=ab-(a+b)≤(a+b2)2-(a+b)，
∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，
∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得a+b-2≥22，即a+b≥2(2+1)，
∴a+b有最小值2(2+1)．
8、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
【答案】 2　
【解析】、 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．
9、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
【答案】15　
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
10．(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【答案】2　
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.

四、 例题选讲
考点一、运用基本不等式求函数的最值
例1、　(1)已知00，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当＝，即x＝16且y＝4时等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
变式2、已知，则的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意知，，
因为，所以，
则，（当且仅当，即时取“=”）
故的最小值是5，故选D。
变式3、已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为_______
【答案】1
【解析】因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
变式4、已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【答案】6
【解析】由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2，
所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法总结：运用不等式求函数的最值要满足三个条件，一正，二定，三相等；有时不满足几定要
通过拼凑法；拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
考点二、基本不等式中1的运用

例2、已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
【答案】　4
【解析】因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．
变式1、若正实数满足，则的最小值是 ▲ ．
【答案】、8
【解析】、因为正实数满足，
所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.
变式2、 已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．
【答案】25
【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．
变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．
当且仅当，即时取“”，所以的最小值为
变式4、的最小值为（　　）
A．18 B．16 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
，
故选B。
方法总结：1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式。(4)利用基本不等式求解最值．
考点三、运用消参法解决不等式问题
例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】. 8　
【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.
变式1：（徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、由已知等式得，从而，
，故有最小值.
变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
【答案】
【解析】、　思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.
由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考点四、运用基本不等式解决含参问题
例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．
【答案】、(－∞，9]　
【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.
解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法2(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法3(函数法)　令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.
变式1、若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≥　　　　　　　　　　 B．a>
C．a< D．a≤
【答案】A.
【解析】由x>0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．
则a≥，故选A.
变式2、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．
【答案】、　
【解析】、 不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于x＋y的不等式，再根据不等式及x＋y＋4＝2xy求出x＋y的范围即可．
对于正实数x，y，由x＋y＋4＝2xy得x＋y＋4＝2xy≤，解得x＋y≥4，
不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0可化为(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，
令t＝x＋y(t≥4)，则该不等式可化为t2－at＋1≥0，即a≤t＋对于任意的t≥4恒成立，
令u(t)＝t＋(t≥4)，则u′(t)＝1－＝>0对于任意的t≥4恒成立，从而函数u(t)＝t＋(t≥4)为单调递增函数，所以u(t)min＝u(4)＝4＋＝，于是a≤.
在求函数u(t)＝t＋(t≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u(t)min＝2，没有注意到t≥4的限制，从而得到错误的答案a≤2.
变式3、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．
【答案】、 100
【解析】、　本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．
解法1(函数的最值) 因为ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.因为△ABC为任意三角形，所以a>|b－c|，即19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.又＝.因为c